Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于點F，交BP于點G，E在CD的延長線上，EP=EG，

（1）求證：直線EP為⊙O的切線；

（2）點P在劣弧AC上運動，其他條件不變，若BG²=BF•BO．試證明BG=PG；

（3）在滿足（2）的條件下，已知⊙O的半徑為3，sinB=．求弦CD的長．

 

Answer 1

（1）證明：連接OP，∵EP=EG，∴∠EPG=∠EGP，

又∵∠EPG=∠BGF，∴∠EPG=∠BGF，∵OP=OB，

∴∠OPB=∠OBP，∵CD⊥AB，∴∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°，∴∠EPG+∠OPB=90°，

∴直線EP為⊙O的切線；

（2）證明：如圖，連接OG，

∵BG²=BF•BO，∴=，∴△BFG∽△BGO，

∴∠BGO=∠BFG=90°，∴BG=PG；

（3）解：如圖，連接AC、BC、OG，

∵sinB=，∴=，∵OB=r=3，∴OG=，

由（2）得∠EPG+∠OPB=90°，

∠B+∠BGF=∠OGF+∠BGO=90°，∴∠B=∠OGF，

∴sin∠OGF==∴OF=1，

∴BF=BO﹣OF=3﹣1=2，F(xiàn)A=OF+OA=1+3=4，

在RT△BCA中，

CF²=BF•FA，∴CF===2．∴CD=2CF=4．