Question

【題目】如圖，在中，AB=AC，∠BAC=90，直角∠EPF的頂點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．給出以下五個(gè)結(jié)論：（1）AE=CF；（2）∠APE =∠CPF；（3）△EPF是等腰直角三角形；（4）= （5）EF=AP其中一定成立的有________個(gè)．

Answer 1

【答案】4

【解析】

（1）通過(guò)證明△AEP≌△CFP就可以得出AE=CF，
（2）由∠EPA+∠FPA=90°，∠CPF+∠FPA=90°，就可以得出結(jié)論；
（3）由△AEP≌△CFP就可以PE=PF，即可得出結(jié)論；
（4）由S四邊形AEPF=S△APE+S△APF．就可以得出S四邊形AEPF=S△CPF+S△APF，就可以得出結(jié)論，
（5）由條件知AP=BC，當(dāng)EF是△ABC的中位線時(shí)才有EF=AP，其他情況EF≠AP．

(1)∵∠EPA+∠FPA=∠EPF=90°,∠CPF+∠FPA=90°，

∴∠APE=∠CPF，故(1)正確.

∵AB=AC,∠BAC=90°,

∴∠B=∠C=45°.

∵P是BC的中點(diǎn)，

∴BP=CP=AP=BC.∠BAP=∠CAP=45°.

∴.∠BAP=∠C.

在△AEP和△CFP中

，

∴△AEP≌△CFP(ASA)，

∴AE=CF,PE=PF,S△AEP=S△CFP，故(2)正確.

∴△EPF是等腰直角三角形，故(3)正確.

∵S四邊形AEPF=S△APE+S△APF.

∴S四邊形AEPF=S△CPF+S△APF=S△APC=S△ABC，故(4)正確.

∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中點(diǎn)，

∴AP=BC，

∵EF不是△ABC的中位線，

∴EF≠AP，故(5)錯(cuò)誤；

∴正確的共有4個(gè).

故答案為4.