【題目】如圖,以BC為直徑的⊙O交的邊AB于E,點D在⊙O上,且DE∥BC,連BD并延長交CA于F,∠CBF=∠A.
(1)求證:CA是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為2,BD=2BE,則DE長為 (直接寫答案).
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】
(1)連接CE,構(gòu)造直角,通過平行的性持,圓周角定理等進行角的代換,證明∠A+∠BCA=90°可得出結(jié)論;
(2)先證明△BED與△BFA相似,得出BF與BA的比值為 ,再證明△BCF和△ACB相似,且相似比為,再次利用△BED與△BFA相似即可求出結(jié)果.
(1)證明:連接CE,
∵DE∥BC,
∴∠BDE=∠CBF,
∵∠CBF=∠A,∠BDE=∠BCE,
∴∠BCE=∠A,
∵BC為⊙O的直徑,
∴∠CEB=90°,
∴∠CBA+∠BCE=90°,
∴∠CBA+∠A=90°,
∴∠BCA=90°
∴OC⊥CA,
又∵OC為半徑,
∴CA是⊙O的切線.
(2)連接CD,
由(1)知∠BDE=∠A,
∵∠DBE=∠DBE,
∴△BDE∽△BAE,
∴,
由(1)知∠CBF=∠A,
∵∠BCF=∠BCF,
∴△BCF∽△ACB,
∴,
∵BC=4,
∴CF=2,AC=8,AF=AC﹣CF=6,
∵BF==2,
∴AB=4,
∵∠BDC=∠BCF=90°,∠CBF=∠CBF,
∴△BCD∽△BFC,
∴,
∴,
∴BD=,
∵△BDE∽△BAE,
∴,
∴,
∴DE=.
故答案為.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax-2x+c(a≠0)與x軸,y軸分別交于點A,B,C三點,已知點(-2,0),C(0,-8),點D是拋物線的頂點.
(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo);
(2)如圖,拋物線的對稱軸與x軸交于點E,第四象限的拋物線上有一點P,將△EB直線EP折疊,使點B的對應(yīng)點B'落在拋物線的對稱軸上,求點P的坐標(biāo);
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線AB和拋物線的交點是A(0,-3),B(5,9),已知拋物線的頂點D的橫坐標(biāo)是2.
(1)求拋物線的解析式及頂點坐標(biāo);
(2)在軸上是否存在一點C,與A,B組成等腰三角形?若存在,求出點C的坐標(biāo),若不存在,請說明理由;
(3)在直線AB的下方拋物線上找一點P,連接PA,PB使得△PAB的面積最大,并求出這個最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC為直徑作⊙O,交AB于D,過點O作OE∥AB,交BC于E.
(1)求證:ED為⊙O的切線;
(2)如果⊙O的半徑為,ED=2,延長EO交⊙O于F,連接DF、AF,求△ADF的面積.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】試題分析:(1)首先連接OD,由OE∥AB,根據(jù)平行線與等腰三角形的性質(zhì),易證得≌ 即可得,則可證得為的切線;
(2)連接CD,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角,即可得 利用勾股定理即可求得的長,又由OE∥AB,證得根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例,即可求得的長,然后利用三角函數(shù)的知識,求得與的長,然后利用S△ADF=S梯形ABEF-S梯形DBEF求得答案.
試題解析:(1)證明:連接OD,
∵OE∥AB,
∴∠COE=∠CAD,∠EOD=∠ODA,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠COE=∠DOE,
在△COE和△DOE中,
∴△COE≌△DOE(SAS),
∴ED⊥OD,
∴ED是的切線;
(2)連接CD,交OE于M,
在Rt△ODE中,
∵OD=32,DE=2,
∵OE∥AB,
∴△COE∽△CAB,
∴AB=5,
∵AC是直徑,
∵EF∥AB,
∴S△ADF=S梯形ABEFS梯形DBEF
∴△ADF的面積為
【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】【題目】已知,拋物線y=ax2+ax+b(a≠0)與直線y=2x+m有一個公共點M(1,0),且a<b.
(1)求b與a的關(guān)系式和拋物線的頂點D坐標(biāo)(用a的代數(shù)式表示);
(2)直線與拋物線的另外一個交點記為N,求△DMN的面積與a的關(guān)系式;
(3)a=﹣1時,直線y=﹣2x與拋物線在第二象限交于點G,點G、H關(guān)于原點對稱,現(xiàn)將線段GH沿y軸向上平移t個單位(t>0),若線段GH與拋物線有兩個不同的公共點,試求t的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知⊙O的直徑AE=10cm,∠B=∠EAC,則AC的長為( )
A. 5cm B. 5cm C. 5 cm D. 6cm
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長均為1的正方形網(wǎng)格紙上有和,頂點A、B,C,D、E、F均在格點上,如果是由繞著某點O旋轉(zhuǎn)得到的,點的對應(yīng)點是點D,點C的對應(yīng)點是點請按要求完成以下操作或運算:
在圖上找到點O的位置不寫作法,但要標(biāo)出字母,并寫出點O的坐標(biāo);
求點B繞著點O順時針旋轉(zhuǎn)到點E所經(jīng)過的路徑長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的對角線相交于點O,∠CAB的平分線分別交BD、BC于E、F,作BH⊥AF于點H,分別交AC、CD于點G、P,連結(jié)GE、GF.
(1)試判斷四邊形BEGF的形狀并說明理由.
(2)求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有這樣一個問題:探究函數(shù)的圖象與性質(zhì).
小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗,對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行了探究.
下面是小東的探究過程,請補充完成:
(1)化簡函數(shù)解析式,當(dāng)x≥-1時,y= ,當(dāng)x<-1時y= ;
(2)根據(jù)(1)中的結(jié)果,請在所給坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象;
(3)結(jié)合函數(shù)圖象,寫出該函數(shù)的一條性質(zhì): .
(4)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象,解決問題:若關(guān)于x的方程只有一個實數(shù)根,直接寫出實數(shù)a的取值范圍: .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】九年級(1)班和(2)班分別有一男一女共4名學(xué)生報名參加學(xué)校文藝匯演主持人的選拔。
(1)若從報名的4名學(xué)生中隨機選1名,則所選的這名學(xué)生是女生的概率是多少.
(2)若從報名的4名學(xué)生中隨機選2名,用樹狀圖或表格列出所有可能的情況,并求出這2名學(xué)生來自同一個班級的概率.
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