Question

已知：如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)是4，在等邊△ABC上再疊加一個(gè)Rt△DEF，∠DEF=90°，∠F=30°，等邊△ABC的邊BC與EF重合，頂點(diǎn)E與B重合，頂點(diǎn)A在DF上，
（1）求邊EF的長(zhǎng)；
（2）若△ABC沿EF方向從E運(yùn)動(dòng)到F，速度為1m/s，時(shí)間為x秒，請(qǐng)你用含x的代數(shù)式表示線段AM的長(zhǎng)；
（3）假設(shè)Rt△DEF和等邊△ABC重合部分的面積是y，請(qǐng)你寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）重合部分的面積與Rt△DEF的面積的比有可能是7：24嗎？如果有可能，請(qǐng)求出此時(shí)x的值；如果沒有可能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)△ABC是等邊三角形可知∠ACB=60°，再由三角形外角的性質(zhì)即可得出∠CAF=30°，故可得出AC=CF=4，故可得出EF的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)速度為1m/s，時(shí)間為x秒，可知BE=x，BF=8-x，再由△ABC是等邊三角形可知∠A=60°，由∠F=30°得出∠ANM=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出BN=

1

2

BF=

8-x

2

，AN=4-BN=4-

8-x

2

=

x

2

，再根據(jù)M=2AN即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)（3）中求出的AN、AM的長(zhǎng)可用x表示出△AMN的面積，再由y=S_△ABC-S_△AMN即可得出結(jié)論；
（4）根據(jù)Rt△DEF中，EF=8，∠F=30°可求出DE的長(zhǎng)，進(jìn)而得出△DEF的面積，再由（3）中y與x的關(guān)系式即可得出結(jié)論．

解答：解；（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠ACB是△ACF的外角，∠F=30°，
∴∠CAF=∠ACB-∠F=60°-30°=30°，
∴AC=CF=4，
∴EF=BC+CF=4+4=8；

（2）∵速度為1m/s，時(shí)間為x秒，
∴BE=x，BF=8-x，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=60°，
∵∠F=30°，
∴∠ANM=90°，
∴BN=

1

2

BF=

8-x

2

；
∴AN=4-BN=4-

8-x

2

=

x

2

，
∵由（1）知，∠AMN=∠F=30°，
∴AM=2AN=2×

x

2

=x；

（3）∵由（2）知，AN=

x

2

，AM=x，
∴MN=

3 x

2

，
∴S_△AMN=

1

2

AN•MN=

1

2

×

x

2

×

3 x

2

=

3 x2

8

，
∵△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，
∴S_△ABC=

1

2

×4×2

3

=4

3

，
∴y=S_△ABC-S_△AMN=4

3

-

3 x2

8

（0≤x≤8）；

（4）存在．
∵Rt△DEF中，EF=8，∠F=30°，
∴DE=

8 3

3

，
∴S_△DEF=

1

2

EF•DE=

1

2

×8×

8 3

3

=

32 3

3

，
∵由（3）知，y=4

3

-

3 x2

8

（0≤x≤8），
∴

4 3 - 3 x2 8

32 3 3

=

7

24

，解得x=

4 14

3

或x=-

4 14

3

（不合題意），
∴存在重合部分的面積與Rt△DEF的面積的比是7：24．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似形綜合題，涉及到直角三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、三角形的面積等知識(shí)，難度適中．