Question

如圖，拋物線y=-x²+x+1與y軸交于A點，過點A的直線與拋物線交于另一點B，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C（3，0）
（1）求直線AB的函數(shù)關(guān)系式；
（2）動點P在線段OC上從原點出發(fā)以每秒一個單位的速度向C移動，過點P作PN⊥x軸，交直線AB于點M，交拋物線于點N．設(shè)點P移動的時間為t秒，MN的長度為s個單位，求s與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
（3）設(shè)在（2）的條件下（不考慮點P與點O，點C重合的情況），連接CM，BN，當(dāng)t為何值時，四邊形BCMN為平行四邊形？問對于所求的t值，平行四邊形BCMN是否菱形？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意易求得A與B的坐標(biāo)，然后有待定系數(shù)法，即可求得直線AB的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由s=MN=NP-MP，即可得s=-t²+t+1-（t+1），化簡即可求得答案；
（3）若四邊形BCMN為平行四邊形，則有MN=BC，即可得方程：-t²+t=，解方程即可求得t的值，再分別分析t取何值時四邊形BCMN為菱形即可．
解答：解：（1）∵當(dāng)x=0時，y=1，
∴A（0，1），
當(dāng)x=3時，y=-×3²+×3+1=2.5，
∴B（3，2.5），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
則：，
解得：，
∴直線AB的解析式為y=x+1；

（2）根據(jù)題意得：s=MN=NP-MP=-t²+t+1-（t+1）=-t²+t（0≤t≤3）；

（3）若四邊形BCMN為平行四邊形，則有MN=BC，此時，有-t²+t=，
解得t₁=1，t₂=2，
∴當(dāng)t=1或2時，四邊形BCMN為平行四邊形．
①當(dāng)t=1時，MP=，NP=4，故MN=NP-MP=，
又在Rt△MPC中，MC=，故MN=MC，此時四邊形BCMN為菱形，
②當(dāng)t=2時，MP=2，NP=，故MN=NP-MP=，
又在Rt△MPC中，MC=，故MN≠MC，此時四邊形BCMN不是菱形．
點評：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，線段的長與函數(shù)關(guān)系式之間的關(guān)系，平行四邊形以及菱形的性質(zhì)與判定等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．