Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點D，C關于拋物線的對稱軸對稱，直線AD與y軸相交于點E．

（1）求直線AD的解析式；
（2）如圖1，直線AD上方的拋物線上有一點F，過點F作FG⊥AD于點G，作FH平行于x軸交直線AD于點H，求△FGH周長的最大值；
（3）如圖2，點M是拋物線的頂點，點P是y軸上一動點，點Q是坐標平面內一點，四邊形APQM是以PM為對角線的平行四邊形，點Q′與點Q關于直線AM對稱，連接M Q′，P Q′．當△PM Q′與□APQM重合部分的面積是APQM面積的 時，求APQM面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令﹣x2+2x+3=0，

解得x1=﹣1，x2=3，

∴A（﹣1，0），C（0，3），

∵點D，C關于拋物線的對稱軸對稱，

∴D（2，3），

∴直線AD的解析式為：y=x+1

（2）

解：設點F（x，﹣x2+2x+3），

∵FH∥x軸，

∴H（﹣x2+2x+2，﹣x2+2x+3），

∴FH=﹣x2+2x+2﹣x=﹣（x﹣ ）2+ ，

∴FH的最大值為 ，

由直線AD的解析式為：y=x+1可知∠DAB=45°，

∵FH∥AB，

∴∠FHG=∠DAB=45°，

∴FG=GH= × =

故△FGH周長的最大值為 ×2+ =

（3）

解：①當P點在AM下方時，如圖1，

設P（0，p），易知M（1，4），從而Q（2，4+p），

∵△PM Q′與APQM重合部分的面積是APQM面積的 ，

∴PQ′必過AM中點N（0，2），

∴可知Q′在y軸上，

易知QQ′的中點T的橫坐標為1，而點T必在直線AM上，

故T（1，4），從而T、M重合，

∴APQM是矩形，

∵易得直線AM解析式為：y=2x+2，

∵MQ⊥AM，

∴直線QQ′：y=﹣ x+ ，

∴4+p=﹣ ×2+ ，

解得：p=﹣ ，

∴PN= ，

∴S□APQM=2S△AMP=4S△ANP=4× ×PN×AO=4× × ×1=5；

②當P點在AM上方時，如圖2，

設P（0，p），易知M（1，4），從而Q（2，4+p），

∵△PM Q′與APQM重合部分的面積是APQM面積的 ，

∴PQ′必過QM中點R（ ，4+ ），

易得直線QQ′：y=﹣ x+p+5，

聯(lián)立 ，

解得：x= ，y= ，

∴H（ ， ），

∵H為QQ′中點，

故易得Q′（ ， ），

由P（0，p）、R（ ，4+ ）易得直線PR解析式為：y=（ ﹣ ）x+p，

將Q′（ ， ）代入到y(tǒng)=（ ﹣ ）x+p得： =（ ﹣ ）× +p，

整理得：p2﹣9p+14=0，

解得p1=7，p2=2（與AM中點N重合，舍去），

∴P（0，7），

∴PN=5，

∴S□APQM=2S△AMP=2× ×PN×|xM﹣xA|=2× ×5×2=10．

綜上所述，APQM面積為5或10．

【解析】（1）根據(jù)拋物線解析式求得點A、B、C點坐標，由點D，C關于拋物線的對稱軸對稱得點D坐標，繼而利用待定系數(shù)法求解可得；（2）設點F（x，﹣x2+2x+3），根據(jù)FH∥x軸及直線AD的解析式y(tǒng)=x1可得點H（﹣x2+2x+2，﹣x2+2x+3），繼而表示出FH的長度，根據(jù)二次函數(shù)的性質可得FH的最值情況，易得△FGH為等腰直角三角形，從而可得其周長的最大值；（3）設P（0，p），根據(jù)平行四邊形性質及點M坐標可得Q（2，4+p），分P點在AM下方與P點在AM上方兩種情況，根據(jù)重合部分的面積關系及對稱性求得點P的坐標后即可得APQM面積．
【考點精析】利用二次函數(shù)的概念和二次函數(shù)的圖象對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數(shù))，則稱y為x的二次函數(shù)；二次函數(shù)圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點．