Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D，C關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，直線AD與y軸相交于點(diǎn)E．

（1）求直線AD的解析式；
（2）如圖1，直線AD上方的拋物線上有一點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G，作FH平行于x軸交直線AD于點(diǎn)H，求△FGH周長(zhǎng)的最大值；
（3）如圖2，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，四邊形APQM是以PM為對(duì)角線的平行四邊形，點(diǎn)Q′與點(diǎn)Q關(guān)于直線AM對(duì)稱(chēng)，連接M Q′，P Q′．當(dāng)△PM Q′與□APQM重合部分的面積是APQM面積的 時(shí)，求APQM面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令﹣x2+2x+3=0，

解得x1=﹣1，x2=3，

∴A（﹣1，0），C（0，3），

∵點(diǎn)D，C關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，

∴D（2，3），

∴直線AD的解析式為：y=x+1

（2）

解：設(shè)點(diǎn)F（x，﹣x2+2x+3），

∵FH∥x軸，

∴H（﹣x2+2x+2，﹣x2+2x+3），

∴FH=﹣x2+2x+2﹣x=﹣（x﹣ ）2+ ，

∴FH的最大值為 ，

由直線AD的解析式為：y=x+1可知∠DAB=45°，

∵FH∥AB，

∴∠FHG=∠DAB=45°，

∴FG=GH= × =

故△FGH周長(zhǎng)的最大值為 ×2+ =

（3）

解：①當(dāng)P點(diǎn)在AM下方時(shí)，如圖1，

設(shè)P（0，p），易知M（1，4），從而Q（2，4+p），

∵△PM Q′與APQM重合部分的面積是APQM面積的 ，

∴PQ′必過(guò)AM中點(diǎn)N（0，2），

∴可知Q′在y軸上，

易知QQ′的中點(diǎn)T的橫坐標(biāo)為1，而點(diǎn)T必在直線AM上，

故T（1，4），從而T、M重合，

∴APQM是矩形，

∵易得直線AM解析式為：y=2x+2，

∵M(jìn)Q⊥AM，

∴直線QQ′：y=﹣ x+ ，

∴4+p=﹣ ×2+ ，

解得：p=﹣ ，

∴PN= ，

∴S□APQM=2S△AMP=4S△ANP=4× ×PN×AO=4× × ×1=5；

②當(dāng)P點(diǎn)在AM上方時(shí)，如圖2，

設(shè)P（0，p），易知M（1，4），從而Q（2，4+p），

∵△PM Q′與APQM重合部分的面積是APQM面積的 ，

∴PQ′必過(guò)QM中點(diǎn)R（ ，4+ ），

易得直線QQ′：y=﹣ x+p+5，

聯(lián)立 ，

解得：x= ，y= ，

∴H（ ， ），

∵H為QQ′中點(diǎn)，

故易得Q′（ ， ），

由P（0，p）、R（ ，4+ ）易得直線PR解析式為：y=（ ﹣ ）x+p，

將Q′（ ， ）代入到y(tǒng)=（ ﹣ ）x+p得： =（ ﹣ ）× +p，

整理得：p2﹣9p+14=0，

解得p1=7，p2=2（與AM中點(diǎn)N重合，舍去），

∴P（0，7），

∴PN=5，

∴S□APQM=2S△AMP=2× ×PN×|xM﹣xA|=2× ×5×2=10．

綜上所述，APQM面積為5或10．

【解析】（1）根據(jù)拋物線解析式求得點(diǎn)A、B、C點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)D，C關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)得點(diǎn)D坐標(biāo)，繼而利用待定系數(shù)法求解可得；（2）設(shè)點(diǎn)F（x，﹣x2+2x+3），根據(jù)FH∥x軸及直線AD的解析式y(tǒng)=x1可得點(diǎn)H（﹣x2+2x+2，﹣x2+2x+3），繼而表示出FH的長(zhǎng)度，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得FH的最值情況，易得△FGH為等腰直角三角形，從而可得其周長(zhǎng)的最大值；（3）設(shè)P（0，p），根據(jù)平行四邊形性質(zhì)及點(diǎn)M坐標(biāo)可得Q（2，4+p），分P點(diǎn)在AM下方與P點(diǎn)在AM上方兩種情況，根據(jù)重合部分的面積關(guān)系及對(duì)稱(chēng)性求得點(diǎn)P的坐標(biāo)后即可得APQM面積．
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的概念和二次函數(shù)的圖象對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數(shù))，則稱(chēng)y為x的二次函數(shù)；二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱(chēng)軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)．