Question

（2013•吳江市模擬）如圖所示，點(diǎn)B坐標(biāo)為（18，0），點(diǎn)A坐標(biāo)為（18，6），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O開(kāi)始沿OB以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)．如果P、Q分別從O、B同時(shí)出發(fā)，用t（秒）表示移動(dòng)的時(shí)間（0＜t≤6），那么，
（1）當(dāng)t=

3或5.4

時(shí)，以點(diǎn)P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似；
（2）若設(shè)四邊形OPQA的面積為y，試寫(xiě)出y與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出t取何值時(shí)，四邊形OPQA的面積最小？
（3）在y軸上是否存在點(diǎn)E，使點(diǎn)P、Q在移動(dòng)過(guò)程中，以B、Q、E、P為頂點(diǎn)的四邊形的面積是一個(gè)常數(shù)，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）討論：當(dāng)∠BPQ=∠BOA，即PQ∥OA，由相似三角形：Rt△QPB∽R(shí)t△AOB，的對(duì)應(yīng)邊成比例求得t=3；當(dāng)∠BPQ=∠A，則Rt△BPQ∽R(shí)t△BAO，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例知

BP

BA

=

BQ

BO

，即

18-3t

6

=

t

18

，即可得到t=5.4；
（2）利用y=S_△OAB-S_△BPQ=

1

2

×18×6-

1

2

×（18-3t）t，然后利用配方法求得該二次函數(shù)的最值，即求出t取何值時(shí)，四邊形OPQA的面積最��；
（3）當(dāng)點(diǎn)E在y軸正半軸時(shí)，利用以B、Q、E、P為頂點(diǎn)的四邊形的面積=梯形BQEO的面積-△OPE的面積，用t與m表示出來(lái)為

1

2

（t+m）×18-

1

2

×3t×m=（9-

3

2

m）t+9m，當(dāng)t的系數(shù)為0時(shí)即可得到m的值；
當(dāng)點(diǎn)E在y軸負(fù)半軸時(shí)，S=S_△EPB+S_△PBQ=

1

2

（18-3t）（-m）-

1

2

（18-3t）t=-

3

2

t²+

3

2

mt+9t-9m．此時(shí)不存在m的值，使S的值為常數(shù)．

解答：解：∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（18，0），點(diǎn)A坐標(biāo)為（18，6），
∴BO=18，AB=6，AB⊥0B．
（1）當(dāng)∠BPQ=∠BOA，即PQ∥OA，Rt△QPB∽R(shí)t△AOB，
則

BP

BO

=

BQ

BA

，即

18-3t

18

=

t

6

，
解得t=3；
當(dāng)∠BPQ=∠A，則Rt△BPQ∽R(shí)t△BAO，
∴

BP

BA

=

BQ

BO

，即

18-3t

6

=

t

18

，
∴t=5.4．
所以當(dāng)t=3秒或5.4秒時(shí)，以點(diǎn)P、Q、B為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似．

（2）y=S_△OAB-S_△BPQ=

1

2

×18×6-

1

2

×（18-3t）t=

3

2

（t-3）²+

81

2

，即y=

3

2

（t-3）²+

81

2

．
則當(dāng)t=3，四邊形OPQA的面積最�。�

（3）存在．理由如下：
設(shè)以B、Q、E、P為頂點(diǎn)的四邊形面積是S，E（0，m）．
①如圖1，當(dāng)E在y軸的正半軸上時(shí)，則
S=S_梯形BQEO-S_△OPE=

1

2

（t+m）×18-

1

2

×3t×m=（9-

3

2

m）t+9m．
故當(dāng)9-

3

2

m=0，即m=6時(shí)，S=54是一個(gè)定值；
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在y軸的正半軸上時(shí)，則S=S_△EPB+S_△PBQ=

1

2

（18-3t）（-m）-

1

2

（18-3t）t=-

3

2

t²+

3

2

mt+9t-9m．
此時(shí)不存在m的值，使S的值為常數(shù)．
綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)（0，6）使點(diǎn)P、Q在移動(dòng)過(guò)程中，以B、Q、E、P為頂點(diǎn)的四邊形的面積是一個(gè)常數(shù)．
故答案為：3或5.4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：兩組對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似；相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等．也考查了分類(lèi)討論思想的運(yùn)用以及三角形的面積公式．