已知,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2.若以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA所在直精英家教網(wǎng)線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,點(diǎn)B在第一象限內(nèi).將Rt△OAB沿OB折疊后,點(diǎn)A落在第一象限內(nèi)的點(diǎn)C處.
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)若拋物線y=ax2+bx(a≠0)經(jīng)過(guò)C、A兩點(diǎn),求此拋物線的解析式;
(3)若上述拋物線的對(duì)稱軸與OB交于點(diǎn)D,點(diǎn)P為線段DB上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)P作y軸的平行線,交拋物線于點(diǎn)M,問(wèn):是否存在這樣的點(diǎn)P,使得四邊形CDPM為等腰梯形?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)在Rt△AOB中,根據(jù)AB的長(zhǎng)和∠BOA的度數(shù),可求得OA的長(zhǎng),根據(jù)折疊的性質(zhì)即可得到OA=OC,且∠BOC=∠BOA=30°,過(guò)C作CD⊥x軸于D,即可根據(jù)∠COD的度數(shù)和OC的長(zhǎng)求得CD、OD的值,從而求出點(diǎn)C的坐標(biāo).
(2)將A、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中,通過(guò)聯(lián)立方程組即可求出待定系數(shù)的值,從而確定該拋物線的解析式.
(3)根據(jù)(2)所得拋物線的解析式可得到其頂點(diǎn)的坐標(biāo)(即C點(diǎn)),設(shè)直線MP與x軸的交點(diǎn)為N,且PN=t,在Rt△OPN中,根據(jù)∠PON的度數(shù),易得PN、ON的長(zhǎng),即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo),然后根據(jù)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和拋物線的解析式可求得M點(diǎn)的縱坐標(biāo),過(guò)M作ME⊥CD(即拋物線對(duì)稱軸)于E,過(guò)P作PQ⊥CD于Q,若四邊形CDPM是等腰梯形,那么CE=QD,根據(jù)C、M、P、D四點(diǎn)縱坐標(biāo),易求得CE、QD的長(zhǎng),聯(lián)立兩式即可求出此時(shí)t的值,從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo).
解答:解:(1)過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸,垂足為H;
∵在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2,
∴OB=4,OA=2
3
;
由折疊的性質(zhì)知:∠COB=30°,OC=AO=2
3
,
∴∠COH=60°,OH=
3
,CH=3;
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(
3
,3).
精英家教網(wǎng)
(2)∵拋物線y=ax2+bx(a≠0)經(jīng)過(guò)C(
3
,3)、A(2
3
,0)兩點(diǎn),
3=3a+
3
b
0=12a+2
3
b

解得
a=-1
b=2
3
;
∴此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為:y=-x2+2
3
x.

(3)存在.
∵y=-x2+2
3
x的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(
3
,3),
即為點(diǎn)C,MP⊥x軸,垂足為N,設(shè)PN=t;
∵∠BOA=30°,
∴ON=
3
t,
∴P(
3
t,t);
作PQ⊥CD,垂足為Q,ME⊥CD,垂足為E;
把x=
3
t代入y=-x2+2
3
x,
得y=-3t2+6t,
∴M(
3
t,-3t2+6t),E(
3
,-3t2+6t),
同理:Q(
3
,t),D(
3
,1);
要使四邊形CDPM為等腰梯形,只需CE=QD,
即3-(-3t2+6t)=t-1,
解得t=
4
3
,t=1(舍),
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(
4
3
3
4
3
),
∴存在滿足條件的P點(diǎn),使得四邊形CDPM為等腰梯形,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(
4
3
3
,
4
3
).
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變化、解直角三角形、二次函數(shù)解析式的確定、等腰梯形的判定和性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn),難度較大.
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相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2.若以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA所在直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,點(diǎn)B在第一象限內(nèi).將Rt△OAB沿OB折疊后,點(diǎn)A落在第一象限內(nèi)的點(diǎn)C處.
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)若拋物線y=ax2+bx(a≠0)經(jīng)過(guò)C、A兩點(diǎn),求此拋物線的解析式;
(3)若拋物線的對(duì)稱軸與OB交于點(diǎn)D,點(diǎn)P為線段DB上一點(diǎn),過(guò)P作y軸的平行線,交拋物線于點(diǎn)M精英家教網(wǎng).問(wèn):是否存在這樣的點(diǎn)P,使得四邊形CDPM為等腰梯形?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
注:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-
b
2a
,
4ac-b2
4a
)
,對(duì)稱軸公式為x=-
b
2a

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•武漢模擬)已知,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2,以O(shè) 為原點(diǎn),OA所在直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,點(diǎn)B在第一象限內(nèi),將Rt△OAB沿OB折疊后,點(diǎn)A落在第一象限內(nèi)的點(diǎn)C處.
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)和過(guò)O、C、A三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(2)P是此拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)以P、O、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí),請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)M(x,y)是此拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△MOB的面積等于△OAB面積時(shí),求M的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•六盤水)已知.在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,OA=2
3
,若以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA所在直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,點(diǎn)B在第一象限內(nèi),將Rt△OAB沿OB折疊后,點(diǎn)A落在第一象限內(nèi)的點(diǎn)C處.
(1)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,C,A三點(diǎn)的拋物線的解析式.
(2)求拋物線的對(duì)稱軸與線段OB交點(diǎn)D的坐標(biāo).
(3)線段OB與拋物線交與點(diǎn)E,點(diǎn)P為線段OE上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)O,點(diǎn)E重合),過(guò)P點(diǎn)作y軸的平行線,交拋物線于點(diǎn)M,問(wèn):在線段OE上是否存在這樣的點(diǎn)P,使得PD=CM?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:第34章《二次函數(shù)》?碱}集(23):34.4 二次函數(shù)的應(yīng)用(解析版) 題型:解答題

已知,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2.若以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA所在直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,點(diǎn)B在第一象限內(nèi).將Rt△OAB沿OB折疊后,點(diǎn)A落在第一象限內(nèi)的點(diǎn)C處.
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)若拋物線y=ax2+bx(a≠0)經(jīng)過(guò)C、A兩點(diǎn),求此拋物線的解析式;
(3)若拋物線的對(duì)稱軸與OB交于點(diǎn)D,點(diǎn)P為線段DB上一點(diǎn),過(guò)P作y軸的平行線,交拋物線于點(diǎn)M.問(wèn):是否存在這樣的點(diǎn)P,使得四邊形CDPM為等腰梯形?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
注:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,對(duì)稱軸公式為x=-

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