Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm，點(diǎn)P是BC邊上不與點(diǎn)B、C重合的任意一點(diǎn)，連接AP，過(guò)P點(diǎn)作PQ⊥AP交DC于Q點(diǎn)，設(shè)BP的長(zhǎng)為xcm，CQ的長(zhǎng)為ycm．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式并寫(xiě)出x的取值范圍；
（2）求點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中y的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知：PQ⊥AP，即：∠APB+∠QPC=90°，∠BAP+∠APB=180°-∠B=90°，所以∠QPC=∠BAP，又∠B=∠C，即：△ABP∽△PCQ，由相似三角形的性質(zhì)可得：=，CQ=×BP，又BP=x，PC=BC-BP=4-x，AB=4，將其代入該式求出CQ的值即可；
（2）利用“配方法”求該函數(shù)的最大值．
解答：解：如上圖所示：
（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°
∵PQ⊥AP，
∴∠APB+∠QPC=90°
∠APB+∠BAP=90°
∴∠BAP=∠QPC
∴△ABP∽△PCQ
∴=，即=
∴y=+x（0＜x＜4）；

（2）∵y=+x
∴y=+1
∴當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值1cm．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正方形的性質(zhì)和二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵在于理解題意運(yùn)用三角形的相似性質(zhì)求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系，求最大值時(shí)，運(yùn)用到“配方法”．