Question

【題目】如圖，⊙O的直徑AB=12cm，C為AB延長線上一點，CP與⊙O相切于點P，過點B作弦BD∥CP，連接PD．

（1）求證：點P為 的中點；
（2）若∠C=∠D，求四邊形BCPD的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OP，

∵CP與⊙O相切于點P，

∴PC⊥OP，

∴∠OPC=90度，

∵BD∥CP，

∴∠OEP=OPC=90度，

∴BD⊥OP，

∴點P為 的中點．

（2）解：∵∠C=∠D，

∵∠POB=2∠D，

∴∠POB=2∠C，

∵∠CPO=90°，

∴∠C=30°，

∵BD∥CP，

∴∠C=∠DBA，

∴∠D=∠DBA，

∴BC∥PD，

∴四邊形BCPD是平行四邊形，

∵PO= AB=6，

∴PC=6 ，

∵∠ABD=∠C=30°，

∴OE= OB=3，

∴PE=3，

∴四邊形BCPD的面積=PCPE=6 ×3=18 ．

【解析】（1）由切線性質(zhì)定理和垂徑定理推論可證出；（2）由圓周角定理可得出∠POB=2∠C，∠CPO=90°，∠C=30°，求出底邊長和高，即能求出其面積.
【考點精析】利用平行四邊形的判定與性質(zhì)和垂徑定理對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積；垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．