Question

【題目】如圖，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），在AC上取一點(diǎn)E，使∠ADE=30°．

（1）求證：△ABD∽△DCE；

（2）設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）（0＜x＜）．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)兩角相等得到△ABD∽△DCE；

（2）如圖1，作高AF，根據(jù)直角三角形30°的性質(zhì)求AF的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求BF的長(zhǎng)，則可得BC的長(zhǎng)，根據(jù)（1）中的相似列比例式可得函數(shù)關(guān)系式，并確定取值．

（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∴∠ABD=∠ACB=30°，∴∠ABD=∠ADE=30°，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，∴∠EDC=∠DAB，∴△ABD∽△DCE；

（2）如圖1，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，過(guò)A作AF⊥BC于F，∴∠AFB=90°，∵AB=2，∠ABF=30°，∴AF=AB=1，∴BF=，∴BC=2BF=，則DC=﹣x，EC=2﹣y，∵△ABD∽△DCE，∴，∴，化簡(jiǎn)得： （0＜x＜）．