Question

【題目】將反比例函數(shù)的圖像繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到新的雙曲線圖像（如圖1所示），直線軸，F為x軸上的一個(gè)定點(diǎn)，已知，圖像上的任意一點(diǎn)P到F的距離與直線l的距離之比為定值，記為e，即．

（1）如圖1，若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(1,0),雙曲線的解析式為，且，則F點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．

（2）如圖2，若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(1,0), 雙曲線的解析式為，且，P為雙曲線在第一象限內(nèi)圖像上的動(dòng)點(diǎn)，連接PF，Q為線段PF上靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)，連接HQ，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為__________．

Answer 1

【答案】F(4,0)

【解析】

（1）令y=0求出x的值，結(jié)合e=2可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由點(diǎn)B的坐標(biāo)及e=2可求出AF的長(zhǎng)度，將其代入OF=OB+AB+AF中即可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，），則點(diǎn)H的坐標(biāo)為（1，），由Q為線段PF上靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)，可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x+，），利用兩點(diǎn)間的距離公式列方程解答即可；

解：（1）如圖：

當(dāng)y=0時(shí)，±，
解得：x1=2，x2=-2（舍去），
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0）．
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），
∴AB=1．
∵e=2，
∴，
∴AF=2，
∴OF=OB+AB+AF=4，
∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0）．
故答案為：（4，0）．

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，），則點(diǎn)H的坐標(biāo)為（1，）．
∵點(diǎn)Q為線段PF上靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（5，0），
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x+，）．
∵點(diǎn)H的坐標(biāo)為（1，），HQ=HP，
∴（x+-1）2+（-）2=[（x-1）]2，
化簡(jiǎn)得：15x2-48x+39=0，
解得：x1=，x2=1（舍去），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．

故答案為：（，）．