Question

如圖，已知△ABC中，AB=AC=a，BC=10，動(dòng)點(diǎn)P沿CA方向從點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q沿CB方向從點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，P、Q中任意一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)P作PD∥BC，交AB邊于點(diǎn)D，連接DQ．設(shè)P、Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．
（1）直接寫(xiě)出BD的長(zhǎng)；（用含t的代數(shù)式表示）
（2）若a=15，求當(dāng)t為何值時(shí)，△ADP與△BDQ相似；
（3）是否存在某個(gè)a的值，使P、Q在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在S_△BDQ：S_△ADP：S_梯形CPDQ=1：4：4的時(shí)刻，若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)PD∥BC，AB=AC，即可求出BD；
（2）根據(jù)平行線得出比例式，求出PD，根據(jù)△ADP和△BDQ，得出比例式，代入即可求出答案；
（3）假設(shè)存在，根據(jù)設(shè)四邊形CPDQ的邊CQ上的高是h，推出△BDQ的邊BQ上的高是h，△ABC的邊BC上的高是3h，根據(jù)△BDQ和△ABC的面積之間的關(guān)系，求出t的值，根據(jù)PD∥BC，得出比例式，代入求出a即可．

解答：解：（1）BD=t．

（2）∵PD∥BC，
∴

AP

AC

=

PD

BC

，
∵AC=15，BC=10，CP=t，
∴PD=10-

2

3

t，
∵△ADP和△BDQ相似，
∴

QB

AP

=

BD

PD

或

QB

PD

=

BD

AP

∴

10-t

15-t

=

t

10- 2 3 t

或

10-t

10- 2 3 t

=

t

15-t

解得：t₁=4，t₂=15（舍去），t₃=15＞10（舍去），t₄=6
答：t=4或6時(shí)，△ADP與△BDQ相似．

（3）存在，
理由是：假設(shè)存在S_△BDQ：S_△ADP：S_梯形CPDQ=1：4：4，
即

S△APD

S△ABC

=

4

1+4+4

=

4

9

，
∵PD∥BC，
∴△APD∽△ACB，相似比是

2

3

，
∴

AP

AC

=

2

3

，
設(shè)四邊形CPDQ的邊CQ上的高是h，
則△BDQ的邊BQ上的高是h，△ABC的邊BC上的高是3h，
∴

1

2

BQ×h=

1

9

×

1

2

BC×3h，
（10-t）=

1

9

×3×10，
∴t=

20

3

，
∵AP=a-t=a-

20

3

，AC=a，
∴

a- 20 3

a

=

2

3

，
代入解得：a=20，
答：存在某個(gè)a的值，使P、Q在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在S_△BDQ：S_△ADP：S_梯形CPDQ=1：4：4的時(shí)刻，a的值是20．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)，三角形的面積，平行線分線段成比例定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意得出等式或方程，此題題型不錯(cuò)，但有一定的難度．