Question

【題目】一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)A（2，0），B（0，4）．

（1）求該函數(shù)的解析式；
（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)OA、AB的中點(diǎn)分別為C、D，P為OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PC+PD的最小值，并求取得最小值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入y=kx+b得：

0=2k+b，4=b，

∴k=﹣2，b=4，

∴解析式為：y=﹣2x+4

（2）

解：

設(shè)點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C′，連接C′D交OB于P′，連接P′C，則PC=PC′，

∴PC+PD=PC′+PD=C′D，即PC+PD的最小值是C′D．

連接CD，在Rt△DCC′中，C′D= =2 ，即PC′+PD的最小值為2 ，

∵OA、AB的中點(diǎn)分別為C、D，

∴CD是△OBA的中位線，

∴OP∥CD，CD= OB=2，

∵C′O=OC，

∴OP是△C′CD的中位線，

∴OP= CD=1，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）．

【解析】（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入y=kx+b并計(jì)算得k=﹣2，b=4．求出解析式為：y=﹣2x+4；（2）設(shè)點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C′，連接C′D交OB于P，則PC=PC′，PC+PD=PC′+PD=C′D，即PC+PD的最小值是C′D．連接CD，在Rt△DCC′中，由勾股定理求得C′D的值，由OP是△C′CD的中位線而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般地，一次函數(shù)y=kx+b有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大（2）當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小才能正確解答此題．