Question

【題目】已知：如圖△ABC中，AB為⊙O的直徑，BC切⊙O于點B，AC交⊙O與點F，點E在AC上，且∠EBC= ∠BAC，BE交⊙O于點D．

（1）求證：AB=AE；
（2）若AB=10，cos∠EBC= ，求線段BE和BC的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接AD，

∵AB為直徑，

∴∠ADB=90°=∠ADE，

∴∠DAB+∠ABD=90°，

∵BC切⊙O于B，

∴∠ABD+∠EBC=90°，

∴∠EBC=∠BAD，

∵∠EBC= ∠BAC，

∴∠EAD=∠BAD，

在△ABD和△AED中

∴△ABD≌△AED（ASA），

∴AB=AE．

（2）

解： ∵∠EBC=∠BAD，AB=10，cos∠EBC= ，

∴在Rt△BAD中，cos∠BAD= = ，

∴AD=4 ，

由勾股定理得：BD=2 ，

∵△ABD≌△AED，

∴BD=DE，

∴BE=2BD=4 ，

過E作EH⊥BC于H，

則EH∥AB，

∵cos∠EBC= ，BE=4 ，

∴BH=BEcos∠EBC=8，

由勾股定理得：EH= =4，

∵EH∥AB，

∴△CHE∽△CBA，

∴

∴ ，

∴CH=5 ，

∴BC=8+5 =13 ．

【解析】（1）連接AD，求出∠EBC=∠BAD，推出∠BAD=∠EAD，證出△ABD≌△AED即可．（2）根據(jù)∠EBC=∠BAD，AB=10，cos∠EBC= 求出AD，根據(jù)勾股定理求出BD，即可求出答案，求出EH，BH，根據(jù)相似求出CH，即可求出答案．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解切線的性質(zhì)定理的相關(guān)知識，掌握切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．