【題目】已知:如圖△ABC中,AB為⊙O的直徑,BC切⊙O于點B,AC交⊙O與點F,點E在AC上,且∠EBC= ∠BAC,BE交⊙O于點D.
(1)求證:AB=AE;
(2)若AB=10,cos∠EBC= ,求線段BE和BC的長.
【答案】
(1)
證明:連接AD,
∵AB為直徑,
∴∠ADB=90°=∠ADE,
∴∠DAB+∠ABD=90°,
∵BC切⊙O于B,
∴∠ABD+∠EBC=90°,
∴∠EBC=∠BAD,
∵∠EBC= ∠BAC,
∴∠EAD=∠BAD,
在△ABD和△AED中
∴△ABD≌△AED(ASA),
∴AB=AE.
(2)
解: ∵∠EBC=∠BAD,AB=10,cos∠EBC= ,
∴在Rt△BAD中,cos∠BAD= = ,
∴AD=4 ,
由勾股定理得:BD=2 ,
∵△ABD≌△AED,
∴BD=DE,
∴BE=2BD=4 ,
過E作EH⊥BC于H,
則EH∥AB,
∵cos∠EBC= ,BE=4 ,
∴BH=BEcos∠EBC=8,
由勾股定理得:EH= =4,
∵EH∥AB,
∴△CHE∽△CBA,
∴
∴ ,
∴CH=5 ,
∴BC=8+5 =13 .
【解析】(1)連接AD,求出∠EBC=∠BAD,推出∠BAD=∠EAD,證出△ABD≌△AED即可.(2)根據(jù)∠EBC=∠BAD,AB=10,cos∠EBC= 求出AD,根據(jù)勾股定理求出BD,即可求出答案,求出EH,BH,根據(jù)相似求出CH,即可求出答案.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解切線的性質(zhì)定理的相關(guān)知識,掌握切線的性質(zhì):1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校為了了解初三年級1000名學生的身體健康情況,從該年級隨機抽取了若干名學生,將他們按體重(均為整數(shù),單位:kg)分成五組(A:39.5~46.5;B:46.5~53.5;C:53.5~60.5;D:60.5~67.5;E:67.5~74.5),并依據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)繪制了如下兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖.
解答下列問題:
(1)這次抽樣調(diào)查的樣本容量是 ,并補全頻數(shù)分布直方圖;
(2)C組學生的頻率為 ,在扇形統(tǒng)計圖中D組的圓心角是 度;
(3)請你估計該校初三年級體重超過60kg的學生大約有多少名?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,AD=2AB,F(xiàn)是AD的中點,作,垂足E在線段AB上,連接EF、CF,則下列結(jié)論中一定成立的是( )
① ②EF=CF
③ ④
A. ①②③ B. ①② C. ②③ ④ D. ①②④
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知OP平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,PD⊥OA于點D,PE⊥OB于點E.如果點M是OP的中點,則DM的長是( 。
A. 2 B. C. D. 2
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了慶祝即將到來的“五四”青年節(jié),某校舉行了書法比賽,賽后隨機抽查部分參賽同學的成績,并制作成圖表如下:
分數(shù)段 | 頻數(shù) | 頻率 |
60≤x<70 | 30 | 0.15 |
70≤x<80 | m | 0.45 |
80≤x<90 | 60 | n |
90≤x≤100 | 20 | 0.1 |
請根據(jù)以上圖表提供的信息,解答下列問題:
(1)這次隨機抽查了 名學生;表中的數(shù)m= ,n= ;
(2)請在圖中補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)若繪制扇形統(tǒng)計圖,分數(shù)段60≤x<70所對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)是 ;
(4)全校共有600名學生參加比賽,估計該校成績80≤x<100范圍內(nèi)的學生有多少人?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校計劃購買籃球、排球共20個,購買2個籃球,3個排球,共需花費190元;購買3個籃球的費用與購買5個排球的費用相同。
(1)籃球和排球的單價各是多少元?
(2)若購買籃球不少于8個,所需費用總額不超過800元.請你求出滿足要求的所有購買方案,并直接寫出其中最省錢的購買方案
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,方格紙中的每個小正方形的邊長都是1.A、B、C三點都在格點上.
(1)請你以格線所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系,使A、B兩點的坐標分別為A(﹣2,3),B(﹣3,1),并寫出C點坐標;
(2)連接AB、BC、CA得△ABC,將△ABC向右平移4個單位,畫出平移后的△A1B1C1;
(3)將△A1B1C1繞點B1按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后的△A2B1C2 , 并求出在旋轉(zhuǎn)過程中線段A1B1所掃過的圖形的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:在△PAB的邊PA、PB上分別取點C、D,連接CD使CD∥AB.將△PCD繞點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△PC′D′(∠APC′<∠APB),連接AC′、BD′.
(1)如圖1, 若∠APB=90°,PA=PB,求證:AC′=BD′;AC′⊥BD′.
(2)在圖1中,連接AD′、BC′,分別取AB、AD′、C′D′、BC′的中點E、F、G、H,順次連接E、F、G、H得到四邊形EFGH.請判斷四邊形EFGH的形狀,并說明理由.
(3)①如圖2, 若改變(1)中∠APB的大小,使0°<∠APB<90°,其他條件不變,重復(fù)(2)中操作.請你直接判斷四邊形EFGH的形狀.
②如圖3,若改變(1)中PA、PB的大小關(guān)系,使PA<PB,其他條件不變,重復(fù)(2)中操作,請你直接判斷是四邊形EFGH的形狀.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,方格紙每個小方格是邊長為1個單位長度的正方形,在平面直角坐標系中,點A(1,0),B(5,0),C(a,b)D(1,4).
(1)描出A、B、C、D四點的位置.如圖,則a= ;b= ;
(2)四邊形ABCD的面積是 ;(直接寫出結(jié)果)
(3)把四邊形ABCD向左平移6個單位,再向下平移1個單位得到四邊形A'B'C'D',在圖中畫出四邊形A'B'C'D',并寫出A'B'C'D'的坐標.
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