Question

如圖，已知：△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，D是OA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接DC，且∠B=∠D=30°．
（1）判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（2）若AC=6，求圖中弓形（即陰影部分）的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC．欲證明DE是⊙O的切線，只需證明DC⊥OC即可；
（2）利用弓形的面積等于扇形的面積減去三角形的面積計(jì)算陰影部分的面積即可．
解答：解：（1）直線CD是⊙O的切線
理由如下：
如圖，連接OC
∵∠AOC、∠ABC分別是AC所對(duì)的圓心角、圓周角
∴∠AOC=2∠ABC=2×30°=60°
∴∠D+∠AOC=30°+60°=90°
∴∠DCO=90°
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切線

（2）過(guò)O作OE⊥AC，點(diǎn)E為垂足
∵OA=OC，∠AOC=60°
∴△AOC是等邊三角形
∴OA=OC=AC=6，∠OAC=60°
在Rt△AOE中
OE=OA•sin∠OAC=6•sin60°=3
∴S_△AOC=
∵S_扇形AOC==6π
∴S_陰=S_扇形AOC-S_△AOC=6π-9
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定與性質(zhì)、解直角三角形；證明某一線段是圓的切線時(shí)，一般情況下是連接切點(diǎn)與圓心，通過(guò)證明該半徑垂直于這一線段來(lái)判定切線．