Question

如圖，等腰△ABC內(nèi)接于⊙O，BA=CA，弦CD平分∠ACB，交AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)B作AD的平行線分別交AC，DC于點(diǎn)E，F(xiàn)．
（1）求證：CF=BF；
（2）若BH=DH=1，求FH的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)CD平分∠ACB，利用圓周角定理，求證BE∥AD，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和等量代換即可求證CF=BF．
（2）連接DB，根據(jù)BH=DH，求證∠FHB=2∠HBD，同理，∠HFB=2∠FCB，再求證△FBH∽△FDB，然后利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求得FH的值．

解答：證明：（1）∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∵∠BCD=∠DAB，
∴∠ACD=∠DAB，
∴BE∥AD，
∴∠EBA=∠DAB，
∴∠ACD=∠ABE，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠FCB=∠FBC，
∴CF=BF；

（2）連接DB，∵BH=DH，
∴∠HDB=∠HBD，
∴∠FHB=2∠HBD，
同理，∠HFB=2∠FCB，
∵∠ABD=∠ACD=∠DCB，
∴∠FHB=∠HFB，
∴FB=HB=1，
∵FB∥AD，
∴∠1=∠2，
∵DC平分∠ACB，
∴

AD

=

DB

，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴△FBH∽△FDB，
∴

FH

FB

=

FB

FD

，
設(shè)FH=x，則FD=x+1，
∴

x

1

=

1

x+1

，
解之得，x=

5 -1

2

，
即FH=

5 -1

2

點(diǎn)評：此題主要考查學(xué)生對相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，圓周角定理的理解和掌握，涉及到知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．