Question

如圖，等腰△ABC內(nèi)接于⊙O，BA=CA，弦CD平分∠ACB，交AB于點H，過點B作AD的平行線分別交AC，DC于點E，F(xiàn)．
（1）求證：CF=BF；
（2）若BH=DH=1，求FH的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)CD平分∠ACB，利用圓周角定理，求證BE∥AD，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和等量代換即可求證CF=BF．
（2）連接DB，根據(jù)BH=DH，求證∠FHB=2∠HBD，同理，∠HFB=2∠FCB，再求證△FBH∽△FDB，然后利用相似三角形對應邊成比例即可求得FH的值．
解答：證明：（1）∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∵∠BCD=∠DAB，
∴∠ACD=∠DAB，
∴BE∥AD，
∴∠EBA=∠DAB，
∴∠ACD=∠ABE，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠FCB=∠FBC，
∴CF=BF；

（2）連接DB，∵BH=DH，
∴∠HDB=∠HBD，
∴∠FHB=2∠HBD，
同理，∠HFB=2∠FCB，
∵∠ABD=∠ACD=∠DCB，
∴∠FHB=∠HFB，
∴FB=HB=1，
∵FB∥AD，
∴∠1=∠2，
∵DC平分∠ACB，
∴=，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴△FBH∽△FDB，
∴=，
設FH=x，則FD=x+1，
∴=，
解之得，x=，
即FH=
點評：此題主要考查學生對相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，圓周角定理的理解和掌握，涉及到知識點較多，綜合性較強，有一定的難度．