Question

如圖，圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為6cm的正三角形ABC，P是母線AC的中點(diǎn)．則在圓錐的側(cè)面上從B點(diǎn)到P點(diǎn)的最短路線的長(zhǎng)為

3

5

．

Answer 1

分析：求出圓錐底面圓的周長(zhǎng)，則以AB為一邊，將圓錐展開，就得到一個(gè)以A為圓心，以AB為半徑的扇形，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出展開后扇形的圓心角，求出展開后∠BAC=90°，連接BP，根據(jù)勾股定理求出BP即可．

解答：解：圓錐底面是以BC為直徑的圓，圓的周長(zhǎng)是BCπ=6π，
以AB為一邊，將圓錐展開，就得到一個(gè)以A為圓心，以AB為半徑的扇形，弧長(zhǎng)是l=6π，
設(shè)展開后的圓心角是n°，則

nπ×6

180

=6π，
解得：n=180，
即展開后∠BAC=

1

2

×180°=90°，
AP=

1

2

AC=3，AB=6，
則在圓錐的側(cè)面上從B點(diǎn)到P點(diǎn)的最短路線的長(zhǎng)就是展開后線段BP的長(zhǎng)，
由勾股定理得：BP=

AB2+AP2

=

62+32

=3

5

，
故答案為：3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐的計(jì)算，平面展開-最短路線問題，勾股定理，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，此扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．本題就是把圓錐的側(cè)面展開成扇形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．