Question

將一個(gè)量角器和一個(gè)含30度角的直角三角板如圖（1）放置，圖（2）是由它抽象出的幾何圖形，其中點(diǎn)B在半圓O的直徑DE的延長(zhǎng)線上，AB切半圓O于點(diǎn)F，且BC=OD．
（1）求證：DB∥CF；
（2）當(dāng)OD=2時(shí)，若以O(shè)、B、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求弧

EF

的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)切線性質(zhì)得出∠OFB=90°，推出OF∥BC，OF=BC，得出平行四邊形OFCB，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)推出即可．
（2）分為兩種情況，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出即可．

解答：（1）證明：∵這樣放置，BA和半圓只有一個(gè)交點(diǎn)F，
∴AB是半圓的切線，
即OF⊥AB，
∵∠ABC=90°，
∴∠OFB=∠ABC=90°，
∴OF∥BC，
∵BC=OD，OF=OD，
∴OF=BC，
∴四邊形OFCB是平行四邊形，
∴OB∥CF，
即DB∥CF．

（2）解：∵△ABC和△OFB相似，
∴分為兩種情況：①當(dāng)∠FOB=∠A=30°時(shí)，弧

EF

的長(zhǎng)度是

30π•2

180

=

π

3

；
②當(dāng)∠FOB=∠ACB=60°時(shí)，弧

EF

的長(zhǎng)度是

60π•2

180

=

2π

3

；
即弧

EF

的長(zhǎng)度是

π

3

或

2π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，切線的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理和計(jì)算能力．