Question

問題情境：已知，在等邊△ABC中∠BAC與∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)M、N分別在直線AC，AB上，且∠MON=60°請猜想CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系．   方法感悟：如圖1，先將問題特殊化，當(dāng)AM=AN，點(diǎn)M、N分別在邊上時(shí)，CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系？
小芳的思考過程是：在線段MC上取一點(diǎn)D，構(gòu)建全等三角形，可推出CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系；
小麗的思考過程是：在線段AB上取一點(diǎn)P，構(gòu)建全等三角形，可推出CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系；
  問題解決：（1）如圖1已知：等邊△ABC中，點(diǎn)O是邊AC，BC的垂直平分線的交點(diǎn)，M，N分別在直線AC，BC上，且∠MON=60°．
（1）如圖1，直接寫出CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，當(dāng)AM≠AN時(shí)，M、N分別在邊AC、BC上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請你加以證明；若不成立，請說明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)M在邊AC上，點(diǎn)N在BA的延長線上時(shí)，請你在圖3中補(bǔ)全圖形，標(biāo)出相應(yīng)字母，并直接寫出線段CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖1，直接寫出結(jié)論CM=MN+AN，即可解決問題．
（2）如圖2，作輔助線；證明△MCO≌△PAO，得到OM=OP，∠COM=∠AOP；證明△MON≌△PON，得到MN=PN，即可解決問題．
（3）圖形如圖3所示，結(jié)論為：CM=MN-AN．

解答： 解：（1）如圖1，CM=MN+AN．
（2）如圖2，在AB上截取AP=MC，連接OP；
∵O是△ABC內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，
∴∠MCO=∠PAO=30°，AO=CO；
在△MCO與△PAO中，

MC=PA ∠MCO=∠PAO CO=AO

，
∴△MCO≌△PAO（SAS），
∴OM=OP，∠COM=∠AOP，
∴∠COM+∠MOA=∠AOP+∠MOA，
∴∠AOC=∠MOP=120°；
∵∠MON=60°，
∴∠NOP=60°，∠MON=∠NOP；
在△MON與△PON中，

OM=OP ∠MON=∠PON ON=ON

，
∴△MON≌△PON（SAS），
∴MN=PN，
∴CM=AP=PN+AN=MN+AN，
即CM=MN+AN．
（3）如圖3，CM=MN-AN．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形；對(duì)綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．