Question

在矩形ABCD中，點(diǎn)EFGH分別是邊ABBCCDDA的中點(diǎn)，順次連接E₁F₁G₁H₁所得的四邊形我們稱之為中點(diǎn)四邊形，如圖
（1）求證：四邊形E₁F₁G₁H₁是菱形；
（2）設(shè)E₁F₁G₁H₁的中點(diǎn)四邊形是E₂F₂G₂H₂，E₂F₂G₂H₂的中點(diǎn)四邊形是E₃F₃G₃H₃…．E_n-1F_n-1G_n-1H_n-1的中點(diǎn)四邊形是E_nF_nG_nH_n，那么這些中點(diǎn)四邊形形狀的變化有沒(méi)有規(guī)律性？______（填“有”或“無(wú)”）若有，說(shuō)出其中的規(guī)律性______；
（3）進(jìn)一步：如果我們規(guī)定：矩形=0，菱形=1，并將矩形ABCD的中點(diǎn)四邊形用f（0）表示；菱形的中點(diǎn)四邊形用f（1）表示，由題（1）知，f（0）=1，那么f（1）=______．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)轭}中給出的條件是中點(diǎn)，所以可利用三角形中位線性質(zhì)，以及矩形對(duì)角線相等去證明四條邊都相等，從而說(shuō)明是一個(gè)菱形．
（2）仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)四邊形互為中點(diǎn)四邊形．
（3）根據(jù)上題總結(jié)的規(guī)律可以得到菱形的中點(diǎn)四邊形為矩形．
解答：（1）證明：連接AC、BD，
∵點(diǎn)EFGH分別是邊ABBCCDDA的中點(diǎn)，
∴E₁H₁=BD，同理F₁G₁=BD，H₁G₁=AC，E₁F₁=AC，
又∵在矩形ABCD中，AC=BD，
∴E₁H₁=F₁G₁=H₁G₁=E₁F₁，
∴四邊形E₁F₁G₁H₁是菱形．

（2）解：有；矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形，菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形．

（3）解：∵矩形的中點(diǎn)四邊形為菱形，
即：f（0）=1，
∴菱形的中點(diǎn)四邊形為矩形可以表示為：f（1）=0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線的性質(zhì)及特殊四邊形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是正確的將四邊形轉(zhuǎn)化為三角形并利用三角形的中位線定理求證即可．