Question

【題目】如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，∠CDA=∠CBD．

（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E，若AB=6，tan∠CDA= ，依題意補全圖形并求DE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連OD，OE，如圖1所示，

∵AB為直徑，

∴∠ADB=90°，

即∠ADO+∠BDO=90°，

又∵∠CDA=∠CBD，

而∠CBD=∠BDO，

∴∠BDO=∠CDA，

∴∠CDA+∠ADO=90°，

即∠CDO=90°，

∴CD⊥OD，

∴CD是⊙O的切線

（2）解：如圖2所示：

∵EB為⊙O的切線，

∴ED=EB，OE⊥DB，

∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，

∴∠ABD=∠OEB，

∴∠CDA=∠OEB．

而tan∠CDA= ，

∴tan∠OEB= = ，

∵Rt△CDO∽Rt△CBE，

∴ = ，

∴CD= ×6=4，

在Rt△CBE中，設(shè)BE=x，

∴（x+4）2=x2+62，

解得：x= ．

即BE的長為 ，

∴DE=BE= ．

【解析】（1）連OD，OE.由AB為直徑可得出∠ADO+∠BDO=90°，再根據(jù)圓周角定理和已知可得到∠CDA+∠ADO=90°，進而可證出結(jié)論；
（2）由切線的性質(zhì)和已知可得到∠CDA=∠OEB，進而可得，再由Rt△CDO∽Rt△CBE可求出CD的長，在Rt△CBE中利用勾股定理可求出BE的長，即可得到DE的長.
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義的相關(guān)知識點，需要掌握對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形；銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)才能正確解答此題．