Question

觀察下列等式：1-

1

2

=1×

1

2

，2-

2

3

=2×

2

3

，3-

3

4

=3×

3

4

，…
（1）猜想并寫(xiě)出第n個(gè)等式為：

n-

n

n+1

=n•

n

n+1

；（n為正整數(shù)）
（2）證明你寫(xiě)出的等式的正確性；
（3）補(bǔ)全第2012個(gè)等式：2012-

2012

2013

=

2012×

2012

2013

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)上述一系列等式得到第n個(gè)等式為n-

n

n+1

=n•

n

n+1

；
（2）左邊兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，右邊利用乘法法則計(jì)算，得到結(jié)果相等，可得出等式成立；
（3）令n=2012代入（1）得到的規(guī)律中，即可得到所填空的結(jié)果．

解答：解：（1）根據(jù)上述一系列等式得到第n個(gè)等式為n-

n

n+1

=n•

n

n+1

；
（2）證明：∵左邊=n-

n

n+1

=

n(n+1)

n+1

-

n

n+1

=

n2

n+1

，
右邊=n•

n

n+1

=

n2

n+1

，
∴左邊=右邊，即等式成立；
（3）2012-

2012

2013

=2012×

2012

2013

．
故答案為：（1）n-

n

n+1

=n•

n

n+1

；（3）2012×

2012

2013

點(diǎn)評(píng)：此題考查了分式的混合運(yùn)算，屬于規(guī)律型題，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．