Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，6），拋物線經(jīng)過A、O、B三點(diǎn)，連接OA、OB、AB，線段AB交y軸于點(diǎn)E．
（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的函數(shù)解析式；
（3）點(diǎn)F為線段OB上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)O、B重合），直線EF與拋物線交于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)N在y軸右側(cè)），連接ON、BN，當(dāng)點(diǎn)F在線段OB上運(yùn)動時，求△BON面積的最大值，并求出此時點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（4）連接AN，當(dāng)△BON面積最大時，在坐標(biāo)平面內(nèi)求使得△BOP與△OAN相似（點(diǎn)B、O、P分別與點(diǎn)O、A、N對應(yīng)）的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線AB的解析式，令x=0，可求E點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，將A（-2，2），B（6，6），O（0，0）三點(diǎn)坐標(biāo)代入，列方程組求a、b、c的值即可；
（3）依題意，得直線OB的解析式為y=x，設(shè)過N點(diǎn)且與直線OB平行的直線解析式為y=x+m，與拋物線解析式聯(lián)立，得出關(guān)于x的一元二次方程，當(dāng)△=0時，△BON面積最大，由此可求m的值及N點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到BO：OA=OP：AN=BP：ON，然后根據(jù)勾股定理分別計算出BO=6，OA=2，AN=，ON=，這樣可求出OP=，BP=，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），再利用勾股定理得到關(guān)于x，y的方程組，解方程組即可．
解答：解：（1）設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，
將A（-2，2），B（6，6）代入，得，解得，
∴y=x+3，令x=0，
∴E（0，3）；

（2）設(shè)拋物線解析式為y=ax²+b′x+c，
將A（-2，2），B（6，6），O（0，0）三點(diǎn)坐標(biāo)代入，得，解得，
∴y=x²-x

（3）依題意，得直線OB的解析式為y=x，設(shè)過N點(diǎn)且與直線OB平行的直線解析式為y=x+m，
聯(lián)立，得x²-6x-4m=0，當(dāng)△=36+16m=0時，過N點(diǎn)與OB平行的直線與拋物線有唯一的公共點(diǎn)，則點(diǎn)N到BO的距離最大，所以△BON面積最大，
解得m=-，x=3，y=，即N（3，）；
此時△BON面積=×6×6-（+6）×3-××3=；

（4）過點(diǎn)A作AS⊥GQ于S，
∵A（-2，2），B（6，6），N（3，），
∵∠AOE=∠OAS=∠BOH=45°，
OG=3，NG=，NS=，AS=5，
在Rt△SAN和Rt△NOG中，
∴tan∠SAN=tan∠NOG=，
∴∠SAN=∠NOG，
∴∠OAS-∠SAN=∠BOG-∠NOG，
∴∠OAN=∠NOB，
∴ON的延長線上存在一點(diǎn)P，使得△BOP∽△OAN，
∵A（-2，2），N（3，），
∵△BOP與△OAN相似（點(diǎn)B、O、P分別與點(diǎn)O、A、N對應(yīng)），即△BOP∽△OAN，
∴BO：OA=OP：AN=BP：ON
又∵A（-2，2），N（3，），B（6，6），
∴BO=6，OA=2，AN=，ON=，
∴OP=，BP=，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（4x，x），
∴16x²+x²=（）²，
解得x=，4x=15，
∵P、P′關(guān)于直線y=x軸對稱，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（15，）或（，15）．
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．根據(jù)已知條件求直線、拋物線解析式，再根據(jù)圖形特點(diǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為列方程組，利用代數(shù)方法解題．