Question

【題目】如圖，分別以直角△ABC的斜邊AB，直角邊AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，F為AB的中點，DE與AB交于點G，EF與AC交于點H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．給出如下結論：

①EF⊥AC；②四邊形ADFE為菱形；③AD=4AG；④FH=BD；其中正確結論的是（ ）

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】試題分析：∵△ACE是等邊三角形，

∴∠EAC=60°，AE=AC，

∵∠BAC=30°，

∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC，

∵F為AB的中點，

∴AB=2AF，

∴BC=AF，

∴△ABC≌△EFA，

∴FE=AB，

∴∠AEF=∠BAC=30°，

∴EF⊥AC，故①正確，

∵EF⊥AC，∠ACB=90°，

∴HF∥BC，

∵F是AB的中點，

∴HF=BC，

∵BC=AB，AB=BD，

∴HF=BD，故④說法正確；

∵AD=BD，BF=AF，

∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，

∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，

∴∠DFB=∠EAF，

∵EF⊥AC，

∴∠AEF=30°，

∴∠BDF=∠AEF，

∴△DBF≌△EFA（AAS），

∴AE=DF，

∵FE=AB，

∴四邊形ADFE為平行四邊形，

∵AE≠EF，

∴四邊形ADFE不是菱形；

故②說法不正確；

∴AG=AF，

∴AG=AB，

∵AD=AB，

則AD=4AG，故③說法正確，

故選：C．