Question

數(shù)學(xué)問(wèn)題：計(jì)算+++…+（其中m，n都是正整數(shù)，且m≥2，n≥1）．

探究問(wèn)題：為解決上面的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過(guò)不斷地分割一個(gè)面積為1的正方形，把數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來(lái)，并采取一般問(wèn)題特殊化的策略來(lái)進(jìn)行探究．

探究一：計(jì)算+++…+．

第1次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為；

第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，陰影部分的面積之和為+；

第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，…；

…

第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分，所有陰影部分的面積之和為+++…+，最后空白部分的面積是．

根據(jù)第n次分割圖可得等式：+++…+=1﹣．

探究二：計(jì)算+++…+．

第1次分割，把正方形的面積三等分，其中陰影部分的面積為；

第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，陰影部分的面積之和為+；

第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，…；

…

第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后三等分，所有陰影部分的面積之和為+++…+，最后空白部分的面積是．

根據(jù)第n次分割圖可得等式：+++…+=1﹣，

兩邊同除以2，得+++…+=﹣．

探究三：計(jì)算+++…+．

（仿照上述方法，只畫(huà)出第n次分割圖，在圖上標(biāo)注陰影部分面積，并寫(xiě)出探究過(guò)程）

解決問(wèn)題：計(jì)算+++…+．

（只需畫(huà)出第n次分割圖，在圖上標(biāo)注陰影部分面積，并完成以下填空）

根據(jù)第n次分割圖可得等式：　+++…+=1﹣　，

所以，+++…+=　﹣　．

拓廣應(yīng)用：計(jì)算 +++…+．

Answer 1

解：探究三：第1次分割，把正方形的面積四等分，

其中陰影部分的面積為；

第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)四等分，

陰影部分的面積之和為；

第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)四等分，

…，

第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后四等分，

所有陰影部分的面積之和為：+++…+，

最后的空白部分的面積是，

根據(jù)第n次分割圖可得等式：+++…+=1﹣，

兩邊同除以3，得+++…+=﹣；

 

解決問(wèn)題：+++…+=1﹣，

+++…+=﹣；

故答案為：+++…+=1﹣，﹣；

 

拓廣應(yīng)用：+++…+，

=1﹣+1﹣+1﹣+…+1﹣，

=n﹣（+++…+），

=n﹣（﹣），

=n﹣+．