Question

【題目】如圖，點(diǎn)P、Q分別是邊長(zhǎng)為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s．

（1）連接AQ、CP交于點(diǎn)M，則在P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；

（2）請(qǐng)求出何時(shí)△PBQ是直角三角形？

Answer 1

【答案】（1）不變，∠CMQ=60°；（2）當(dāng)?shù)?/span>秒或第秒時(shí)，△PBQ為直角三角形．

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)全等三角形的判定定理得出△ABQ≌△CAP，由全等三角形的性質(zhì)可知∠BAQ=∠ACP，故∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°，故可得出結(jié)論；

（2）設(shè)時(shí)間為t秒，則AP=BQ=tcm，PB=（4﹣t）cm，當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，因?yàn)?/span>∠B=60°，所以PB=2BQ，即4﹣t=2t故可得出t的值，當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，同理可得BQ=2BP，即t=2（4﹣t），由此兩種情況即可得出結(jié)論．

解：（1）不變，∠CMQ=60°．

∵△ABC是等邊三角形，

∴等邊三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°

又∵點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s．

∴AP=BQ，

∴△ABQ≌△CAP（SAS），

∴∠BAQ=∠ACP，

∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°；

（2）設(shè)時(shí)間為t秒，則AP=BQ=tcm，PB=（4﹣t）cm，

當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，

∵∠B=60°，

∴PB=2BQ，即4﹣t=2t，t=，

當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，

∵∠B=60°，

∴BQ=2BP，得t=2（4﹣t），t=，

∴當(dāng)?shù)?/span>秒或第秒時(shí)，△PBQ為直角三角形．