Question

【題目】如圖，已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，D是OA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接DC，且∠B=∠D=30°，AC=4．

（1）判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）CD為⊙O的切線；（2）π﹣4．

【解析】

試題分析：（1）連結(jié)OC，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠AOC=2∠B=60°，則利用三角形內(nèi)角和可計(jì)算出∠OCD=90°，所以O(shè)C⊥CD，然后根據(jù)切線的判定定理可判斷CD為⊙O的切線；

（2）先判斷△AOC為等邊三角形，則OA=AC=4，然后根據(jù)扇形面積公式和等邊三角形的面積公式，利用S陰影部分=S扇形AOC﹣S△OAC進(jìn)行計(jì)算．

解：（1）直線CD為⊙O的切線．理由如下：

連結(jié)OC，如圖，

則∠AOC=2∠B=60°，

∵∠D=30°，

∴∠OCD=180°﹣30°﹣60°=90°，

∴OC⊥CD，

∴CD為⊙O的切線；

（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，

∴△AOC為等邊三角形，

∴OA=AC=4，

∴S陰影部分=S扇形AOC﹣S△OAC

=﹣42

=π﹣4．