Question

小紅和小明在操場做游戲，他們先在地上畫了半徑分別2m和3m的同心圓（如圖），蒙上眼在一定距離外向圈內(nèi)擲小石子，擲中陰影小紅勝，否則小明勝，未擲入圈內(nèi)不算，你來當(dāng)裁判．
（1）你認(rèn)為游戲公平嗎？為什么？
（2）游戲結(jié)束，小明邊走邊想，“反過來，能否用頻率估計(jì)概率的方法，來估算某一不規(guī)則圖形的面積呢”．請(qǐng)你設(shè)計(jì)方案，解決這一問題．（要求補(bǔ)充完整圖形，說明設(shè)計(jì)步驟、原理，寫出估算公式）

Answer 1

分析：游戲是否公平，關(guān)鍵要看是否游戲雙方贏的機(jī)會(huì)是否相等，即判斷雙方取勝的概率是否相等，或轉(zhuǎn)化為在總情況明確的情況下，判斷雙方取勝所包含的情況數(shù)目是否相等．

解答：解：（1）不公平；
∵P（陰）=

9π-4π

9π

=

5

9

，
即小紅勝率為

5

9

，小明勝率為

4

9

，
∴游戲?qū)﹄p方不公平；

（2）能利用頻率估計(jì)概率的實(shí)驗(yàn)方法估算非規(guī)則圖形的面積；
設(shè)計(jì)方案：①設(shè)計(jì)一個(gè)可測量面積的規(guī)則圖形將非規(guī)則圖形圍起來（如正方形，其面積為S）．如圖所示：
②往圖形中擲點(diǎn)（如蒙上眼往圖形中隨意擲石子，擲在圖外不作記錄）．
③當(dāng)擲點(diǎn)數(shù)充分大（如1萬次），記錄并統(tǒng)計(jì)結(jié)果，設(shè)擲入正方形內(nèi)m次，其中n次擲圖形內(nèi)．
④設(shè)非規(guī)則圖形的面積為S₁，用頻率估計(jì)概率，即頻率P'（擲入非規(guī)則圖形內(nèi)）
=

n

m

≈概率P（擲入非規(guī)則圖形內(nèi)）=

S1

S

故

n

m

≈

S1

S

?S1≈

Sn

m

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．