Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=mex+x+1． （Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x1 ， x2（x1＜x2），證明：x1+x2＞0．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：f′（x）=mex+1， m≥0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在R遞增，
m＜0時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＜ln（﹣ ），
令f′（x）＜0，解得：x＞ln（﹣ ），
故f（x）在（﹣∞，ln（﹣ ））遞增，在（ln（﹣ ），+∞）遞減；
（Ⅱ）證明：若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x1 ， x2（x1＜x2），
由（Ⅰ）得：f（x）max=f（ln（﹣ ））=ln（﹣ ）＞0，
解得：﹣1＜m＜0，
由f（x1）=f（x2）得：m= ①，
m（ ﹣ ）+（x1﹣x2）=0②，
將①代入②整理得：
x1= +1，
故x2+x1= +1+x2 ，
由m= = 得：﹣1＜ ＜0，
解得：﹣1＜x2＜0，
令g（x）= +x+1，（﹣1＜x＜0），
則g′（x）=1﹣xe﹣x＞0，
故g（x）在（﹣1，0）遞增，
g（x）＞g（﹣1）=0，
故x2+x1= +1+x2＞0．
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）求出x2+x1= +1+x2 ， 由m= = ，解得：﹣1＜x2＜0，令g（x）= +x+1，（﹣1＜x＜0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．