【答案】
分析:(1)將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入已知的拋物線的解析式利用待定系數(shù)法及其求得a、c的值,配方后即可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)設(shè)拋物線對稱軸與x軸交點(diǎn)為M,則可得到AM=1,然后根據(jù)O′A=OA=2得到O′A=2AM,最后在Rt△OAC中,利用OC和OA的關(guān)系列出有關(guān)t的方程求得t值即可.
(3)本題需先分兩種情況進(jìn)行討論,當(dāng)P是EF上任意一點(diǎn)時(shí),可得PC>PB,從而得出PB≠PA,PB≠PC,PB≠PD,即可求出線段PA、PB、PC、PD不能構(gòu)成平行四邊形.
(4)分假設(shè)點(diǎn)P為FG與對稱軸交點(diǎn)時(shí),存在一個(gè)正數(shù)t,使得線段PA、PB、PC、PD能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形和假設(shè)當(dāng)點(diǎn)P為EH與對稱軸交點(diǎn)時(shí),存在一個(gè)正數(shù)t,使得線段PA、PB、PC、PD能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形兩種情況列出有關(guān)的方程求得t值即可.
解答:解:(1)把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)(2,0)、(0,-8t)代入拋物線y=ax
2-6ax+c得,
,解得
,
該拋物線為y=-tx
2+6tx-8t=-t(x-3)
2+t.
∴頂點(diǎn)D坐標(biāo)為(3,t)
(2)如圖1,設(shè)拋物線對稱軸與x軸交點(diǎn)為M,則AM=1.
由題意得:O′A=OA=2.
∴O′A=2AM,∴∠O′AM=60°.
∴∠O′AC=∠OAC=60°
∴在Rt△OAC中:
∴OC=
,
即
.
∴
.
(3)①如圖2所示,設(shè)點(diǎn)P是邊EF上的任意一點(diǎn)
(不與點(diǎn)E、F重合),連接PM.
∵點(diǎn)E(4,-4)、F(4,-3)與點(diǎn)B(4,0)在一直線上,
點(diǎn)C在y軸上,
∴PB<4,PC≥4,∴PC>PB.
又PD>PM>PB,PA>PM>PB,
∴PB≠PA,PB≠PC,PB≠PD.
∴此時(shí)線段PA、PB、PC、PD不能構(gòu)成平行四邊形.
②設(shè)P是邊FG上的任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)F、G重合),
∵點(diǎn)F的坐標(biāo)是(4,-3),點(diǎn)G的坐標(biāo)是(5,-3).
∴FB=3,
,∴3≤PB≤
.
∵PC>4,∴PC>PB.
∴PB≠PA,PB≠PC.
∴此時(shí)線段PA、PB、PC、PD不能構(gòu)成平行四邊形.
(4)t=
或
或1.
∵已知PA、PB為平行四邊形對邊,
∴必有PA=PB.
①假設(shè)點(diǎn)P為FG與對稱軸交點(diǎn)時(shí),存在一個(gè)正數(shù)t,使得線段PA、PB、PC、PD能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形.
如圖3所示,只有當(dāng)PC=PD時(shí),線段PA、PB、PC、PD能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形.
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,-8t),點(diǎn)D的坐標(biāo)是(3,t),
又點(diǎn)P的坐標(biāo)是(3,-3),
∴PC
2=3
2+(-3+8t)
2,PD
2=(3+t)
2.
當(dāng)PC=PD時(shí),有PC
2=PD
2即 3
2+(-3+8t)
2=(3+t)
2.
整理得7t
2-6t+1=0,
∴解方程得t=
>0滿足題意.
②假設(shè)當(dāng)點(diǎn)P為EH與對稱軸交點(diǎn)時(shí),存在一個(gè)正數(shù)t,使得線段PA、PB、PC、PD能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形.
如圖4所示,只有當(dāng)PC=PD時(shí),線段PA、PB、PC、PD
能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形.
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,-8t),點(diǎn)D的坐標(biāo)是(3,t),
點(diǎn)P的坐標(biāo)是(3,-4),
∴PC
2=3
2+(-4+8t)
2,PD
2=(4+t)
2.
當(dāng)PC=PD時(shí),有PC
2=PD
2即 3
2+(-4+8t)
2=(4+t)
2整理得7t
2-8t+1=0,
∴解方程得t=
或1均大于>0滿足題意.
綜上所述,滿足題意的t=
或
或1.
點(diǎn)評:本題主要考查了二次函數(shù)的綜合問題,在解題時(shí)要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和分類討論,把二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和平行四邊形的判定相結(jié)合是本題的關(guān)鍵.