Question

（2013•鄭州模擬）如圖1所示，已知二次函數(shù)y=ax²-6ax+c與x軸分別交于點(diǎn)A（2，0）、B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，-8t）（t＞0）．
（1）求a、c的值及拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）如圖1，連接AC，將△OAC沿直線AC翻折，若點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)O′恰好落在該拋物線的對稱軸上，求實(shí)數(shù)t的值；
（3）如圖2，在正方形EFGH中，點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別是（4，-4）、（4，-3），邊HG位于邊EF的右側(cè)．若點(diǎn)P是邊EF或邊FG上的任意一點(diǎn)（不與E、F、G重合），請你說明以PA、PB、PC、PD的長度為邊長不能構(gòu)成平行四邊形；
（4）將（3）中的正方形EFGH水平移動，若點(diǎn)P是正方形邊FG或EH上任意一點(diǎn)，在水平移動過程中，是否存在點(diǎn)P，使以PA、PB、PC、PD的長度為邊長構(gòu)成平行四邊形，其中PA、PB為對邊．若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入已知的拋物線的解析式利用待定系數(shù)法及其求得a、c的值，配方后即可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)拋物線對稱軸與x軸交點(diǎn)為M，則可得到AM=1，然后根據(jù)O′A=OA=2得到O′A=2AM，最后在Rt△OAC中，利用OC和OA的關(guān)系列出有關(guān)t的方程求得t值即可．
（3）本題需先分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)P是EF上任意一點(diǎn)時(shí)，可得PC＞PB，從而得出PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，即可求出線段PA、PB、PC、PD不能構(gòu)成平行四邊形．
（4）分假設(shè)點(diǎn)P為FG與對稱軸交點(diǎn)時(shí)，存在一個(gè)正數(shù)t，使得線段PA、PB、PC、PD能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形和假設(shè)當(dāng)點(diǎn)P為EH與對稱軸交點(diǎn)時(shí)，存在一個(gè)正數(shù)t，使得線段PA、PB、PC、PD能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形兩種情況列出有關(guān)的方程求得t值即可．

解答：解：（1）把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)（2，0）、（0，-8t）代入拋物線y=ax²-6ax+c得，

4a-12a+c=0 c=-8t

，解得  

a=-t c=-8t

，
該拋物線為y=-tx²+6tx-8t=-t（x-3）²+t．
∴頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（3，t）                              
（2）如圖1，設(shè)拋物線對稱軸與x軸交點(diǎn)為M，則AM=1．
由題意得：O′A=OA=2．
∴O′A=2AM，∴∠O′AM=60°．
∴∠O′AC=∠OAC=60°
∴在Rt△OAC中：
∴OC=

3

•AO=2

3

，
即-8t=-2

3

．
∴t=

3

4

．        
（3）①如圖2所示，設(shè)點(diǎn)P是邊EF上的任意一點(diǎn)
（不與點(diǎn)E、F重合），連接PM．
∵點(diǎn)E（4，-4）、F（4，-3）與點(diǎn)B（4，0）在一直線上，
點(diǎn)C在y軸上，
∴PB＜4，PC≥4，∴PC＞PB．
又PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，
∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD．
∴此時(shí)線段PA、PB、PC、PD不能構(gòu)成平行四邊形．
②設(shè)P是邊FG上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)F、G重合），
∵點(diǎn)F的坐標(biāo)是（4，-3），點(diǎn)G的坐標(biāo)是（5，-3）．
∴FB=3，GB=

10

，∴3≤PB≤

10

．
∵PC＞4，∴PC＞PB．
∴PB≠PA，PB≠PC．
∴此時(shí)線段PA、PB、PC、PD不能構(gòu)成平行四邊形．        
（4）t=

3± 2

7

或

1

7

或1．                               
∵已知PA、PB為平行四邊形對邊，
∴必有PA=PB．
①假設(shè)點(diǎn)P為FG與對稱軸交點(diǎn)時(shí)，存在一個(gè)正數(shù)t，使得線段PA、PB、PC、PD能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形．
如圖3所示，只有當(dāng)PC=PD時(shí)，線段PA、PB、PC、PD能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形．
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，-8t），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（3，t），
又點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3，-3），
∴PC²=3²+（-3+8t）²，PD²=（3+t）²．
當(dāng)PC=PD時(shí)，有PC²=PD²
即 3²+（-3+8t）²=（3+t）²．
整理得7t²-6t+1=0，
∴解方程得t=

3± 2

7

＞0滿足題意．
②假設(shè)當(dāng)點(diǎn)P為EH與對稱軸交點(diǎn)時(shí)，存在一個(gè)正數(shù)t，使得線段PA、PB、PC、PD能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形．
如圖4所示，只有當(dāng)PC=PD時(shí)，線段PA、PB、PC、PD
能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形．
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，-8t），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（3，t），
點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3，-4），
∴PC²=3²+（-4+8t）²，PD²=（4+t）²．
當(dāng)PC=PD時(shí)，有PC²=PD²
即 3²+（-4+8t）²=（4+t）²
整理得7t²-8t+1=0，
∴解方程得t=

1

7

或1均大于＞0滿足題意．
綜上所述，滿足題意的t=

3± 2

7

或

1

7

或1．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合問題，在解題時(shí)要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和分類討論，把二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和平行四邊形的判定相結(jié)合是本題的關(guān)鍵．