Question

拋物線的頂點在直線上，過點F的直線交該拋物線于點M、N兩點（點M在點N的左邊），MA⊥軸于點A，NB⊥軸于點B．

（1）(3分)先通過配方求拋物線的頂點坐標(biāo)（坐標(biāo)可用含的代數(shù)式表示），再求的值；

（2）(3分)設(shè)點N的橫坐標(biāo)為，試用含的代數(shù)式表示點N的縱坐標(biāo)，并說明NF＝NB；

（3）(3分)若射線NM交軸于點P，且PA×PB＝，求點M的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）…1分

∴頂點坐標(biāo)為(－2 , )…………………2分

∵頂點在直線上，

∴－2+3=，得=2…………………3分

（2）∵點N在拋物線上，

∴點N的縱坐標(biāo)為…………………………4分

即點N(,)

過點F作FC⊥NB于點C，

在Rt△FCN中，F(xiàn)C=+2，NC=NB-CB=,∴＝＝=………………………………………………5分

而=＝

∴＝，NF=NB………………………………………………………………………6分

（3）連結(jié)AF、BF

由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的結(jié)論知，MF=MA，∴∠MAF=∠MFA,∵M(jìn)A⊥軸，NB⊥軸，∴MA∥NB,∴∠AMF+∠BNF=180°

∵△MAF和△NFB的內(nèi)角總和為360°,∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°,

∵∠MAB+∠NBA=180°，∴∠FBA+∠FAB=90°又∵∠FAB+∠MAF=90°

∴∠FBA=∠MAF=∠MFA

又∵∠FPA=∠BPF，∴△PFA∽△PBF，∴，= ……………7分

過點F作FG⊥軸于點G,在Rt△PFG中，PG==，∴PO=PG+GO=，

∴P(－ , 0)

設(shè)直線PF：，把點F（－2 , 2）、點P(－ , 0)代入解得=，=，∴直線PF：……………………………………………………8分

解方程，得=－3或=2（不合題意，舍去）

當(dāng)=－3時，=，∴M（－3 ,）……………………………9分