Question

觀察、猜想、探究：
在△ABC中，∠ACB=2∠B．
（1）如圖①，當(dāng)∠C=90°，AD為∠BAC的角平分線時(shí)，求證：AB=AC+CD；
（2）如圖②，當(dāng)∠C≠90°，AD為∠BAC的角平分線時(shí)，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？不需要證明，請(qǐng)直接寫出你的猜想；
（3）如圖③，當(dāng)AD為△ABC的外角平分線時(shí)，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并對(duì)你的猜想給予證明．

Answer 1

解：（1）過D作DE⊥AB，交AB于點(diǎn)E，如圖1所示，
∵AD為∠BAC的平分線，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE=DC，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
AD=AD，DE=DC，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，∠ACB=∠AED，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
又∵∠AED=∠B+∠EDB，
∴∠B=∠EDB，
∴BE=DE=DC，
則AB=BE+AE=CD+AC；

（2）AB=CD+AC，理由為：
在AB上截取AG=AC，如圖2所示，
∵AD為∠BAC的平分線，
∴∠GAD=∠CAD，
∵在△ADG和△ADC中，
，
∴△ADG≌△ADC（SAS），
∴CD=CG，∠AGD=∠ACB，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠AGD=2∠B，
又∵∠AGD=∠B+∠GDB，
∴∠B=∠GDB，
∴BE=DG=DC，
則AB=BG+AG=CD+AC；

（3）AB=CD-AC，理由為：
在AF上截取AG=AC，如圖3所示，
∵AD為∠FAC的平分線，
∴∠GAD=∠CAD，
∵在△ADG和△ACD中，
，
∴△ADG≌△ACD（SAS），
∴CD=GD，∠AGD=∠ACD，即∠ACB=∠FGD，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠FGD=2∠B，
又∵∠FGD=∠B+∠GDB，
∴∠B=∠GDB，
∴BG=DG=DC，
則AB=BG-AG=CD-AC．
分析：（1）過D作DE⊥AB，交AB于點(diǎn)E，理由角平分線性質(zhì)得到ED=CD，利用HL得到直角三角形AED與直角三角形ACD全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，得到AE=AC，∠AED=∠ACB，由∠ACB=2∠B，利用等量代換及外角性質(zhì)得到一對(duì)角相等，利用等角對(duì)等邊得到BE=DE，由AB=AE+EB，等量代換即可得證；
（2）AB=CD+AC，理由為：在AB上截取AG=AC，如圖2所示，由角平分線定義得到一對(duì)角相等，再由AD=AD，利用SAS得到三角形AGD與三角形ACD全等，接下來同（1）即可得證；
（3）AB=CD-AC，理由為：在AF上截取AG=AC，如圖3所示，同（2）即可得證．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了角平分線性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握角平分線性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．