【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),直線與x軸,y軸分別交于B,C兩點(diǎn),拋物線經(jīng)過(guò)B,C兩點(diǎn),與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)A,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(0<t<5)秒.
(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)在點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)的同時(shí),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間和點(diǎn)P相同.
①記△BPQ的面積為S,當(dāng)t為何值時(shí),S最大,最大值是多少?
②是否存在△NCQ為直角三角形的情形?若存在,求出相應(yīng)的t值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1) A(-3,0);(2)時(shí), . (3)t的值為或.
【解析】試題分析:(1)由直線y=x+9與x軸,y軸分別交于B,C兩點(diǎn),分別令x=0和y=0求出B與C的坐標(biāo),又拋物線經(jīng)過(guò)B,C兩點(diǎn),把求出的B與C的坐標(biāo)代入到二次函數(shù)的表達(dá)式里得到關(guān)于b,c的方程,聯(lián)立解出b和c即可求出二次函數(shù)的解析式.又因A點(diǎn)是二次函數(shù)與x軸的另一交點(diǎn)令y=0即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo).
(2)連接OM,PM與⊙O′相切作為題中的已知條件來(lái)做.由直徑所對(duì)的圓周角為直角可得∠OMC=90°從而得∠OMB=90°.又因?yàn)?/span>O′O是⊙O′的半徑,O′O⊥OP得到OP為⊙O′的切線,然后根據(jù)從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,切線長(zhǎng)相等可得OP=PM,根據(jù)等邊對(duì)等角得∠POM=∠PMO,然后根據(jù)等角的余角相等可得∠PMB=∠OBM,再根據(jù)等角對(duì)等邊得PM=PB,然后等量代換即可求出OP的長(zhǎng),加上OA的長(zhǎng)即為點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)的路程AP,最后根據(jù)時(shí)間等于路程除以速度即可求出時(shí)間t的值.
(3)①由路程等于速度乘以時(shí)間可知點(diǎn)P走過(guò)的路程AP=3t,則BP=15-3t,點(diǎn)Q走過(guò)的路程為BQ=3t,然后aa過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥OB于點(diǎn)D,證△BQD∽△BCO,由相似得比列即可表示出QD的長(zhǎng),然后根據(jù)三角形的面積公式即可得到S關(guān)于t的二次函數(shù)關(guān)系式,然后利用t=-時(shí)對(duì)應(yīng)的S的值即可求出此時(shí)的最大值.
②要使△NCQ為直角三角形,必須滿足三角形中有一個(gè)直角,由BA=BC可知∠BCA=∠BAC,所以角NCQ不可能為直角,所以分兩種情況來(lái)討論:第一種,當(dāng)角NQC為直角時(shí),利用兩組對(duì)應(yīng)角的相等可證△NCQ∽△CAO,由相似得比例即可求出t的值;第二種當(dāng)∠QNC=90°時(shí),也是證三角形的相似,由相似得比例求出t的值.
試題解析:(1)在中,令x=0,得y=9;令y=0,得x=12.∴C(0,9),B(12,0).
又拋物線經(jīng)過(guò)B,C兩點(diǎn),∴,解得: ,∴
令y=0,解得:A(-3,0)
(2)①過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥OB于點(diǎn)D.
∵OC⊥OB,∴QD∥OC.∴△BQD∽△BCO.∴
∵OC=9,BQ=3t,BC=15,∴,解得
又
∴(0<t<5)
當(dāng)時(shí), .
②存在△NCQ為直角三角形的情形.
∵BC=BA=15, ∴∠BCA=∠BAC,即∠NCQ=∠CAO
∴△NCQ欲為直角三角形,∠NCQ≠90°,只存在∠NQC=90°和∠QNC=90°兩種情況.
如圖,當(dāng)∠NQC=90°時(shí),∠NQC=∠COA=90°,∠NCQ=∠CAO
∴△NQC∽△COA,∴ ,∴,解得: ;
當(dāng)∠QNC=90°時(shí),∠QNC=∠COA=90°,∠NCQ=∠CAO
∴△NQC∽△OCA,∴ ,∴,解得:t=.
綜上,存在△NCQ為直角三角形的情形,t的值為或.
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【題目】已知A和B兩點(diǎn)在線段EF的中垂線上,且∠EBF=100°,∠EAF=70°,則∠AEB等于( )
A.95°
B.15°
C.95°或15°
D.170°或30°
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【題目】小明同學(xué)要測(cè)量公園內(nèi)被湖水隔開(kāi)的兩顆大樹(shù)A和B之間的距離,他在A處測(cè)得大樹(shù)B在A的北偏西30°方向,他從A處出發(fā)向北偏東15°方向走了200米到達(dá)C處,測(cè)得大樹(shù)B在C的北偏西60°的方向.
(1)求∠ABC的度數(shù);
(2)求兩棵大樹(shù)A和B之間的距離(結(jié)果精確到1米;參考數(shù)據(jù), , ).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】拋物線y=2x2 , y=﹣2x2 , y=2x2+1共有的性質(zhì)是( )
A.開(kāi)口向上
B.對(duì)稱軸都是y軸
C.都有最高點(diǎn)
D.頂點(diǎn)都是原點(diǎn)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】a是最小的正整數(shù),b是最大的負(fù)整數(shù),c是絕對(duì)值最小的有理數(shù),請(qǐng)問(wèn):a,b,c三數(shù)之和是( )
A. ﹣1B. 0C. 1D. 2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】以直線AB上一點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線 OC,使∠BOC=60°,將一個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處.(注:∠DOE=90°)
(1)如圖1,若直角三角板DOE的一邊OD放在射線OB上,則∠COE= °;
(2)如圖2,將直角三角板DOE繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)到某個(gè)位置,若OE恰好平分∠AOC,請(qǐng)說(shuō)明OD所在射線是∠BOC的平分線;
(3)如圖3,將三角板DOE繞點(diǎn)O逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)到某個(gè)位置時(shí),若恰好∠COD= ∠AOE,求∠BOD的度數(shù)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列關(guān)于三角形的內(nèi)心說(shuō)法正確的是( )
A.內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)
B.內(nèi)心是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)
C.內(nèi)心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等
D.鈍角三角形的內(nèi)心在三角形外
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