Question

已知：如圖，M是弧AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的弦MN交弦AB于點(diǎn)C，設(shè)⊙O的半徑為4cm，MN=4cm．
（1）求圓心O到弦MN的距離；
（2）猜想OM和AB的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）求∠ACM的度數(shù)．

Answer 1

解：（1）連接OM，
∵點(diǎn)M是弧AB的中點(diǎn)，
∴OM⊥AB，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥MN于點(diǎn)D，
由垂徑定理，得MD=MN=2．
在Rt△ODM中，OM=4，MD=2，
∴OD==2
故圓心O到弦MN的距離為2cm．

（2）猜想：OM⊥AB
連接OA、OB，由M是弧AB的中點(diǎn)，
得∠AOM=∠BOM，
又因?yàn)镺A=OB，所以O(shè)M⊥AB．

（3）cos∠OMD=，
∴∠OMD=30°，
∵OM⊥AB，
∴∠ACM=60°．
分析：（1）連接OM，由垂徑定理可知MD=ND，在Rt△MOD中，已知OM、MD，易求OD．
（2）連接OA、OB，由于M是弧AB的中點(diǎn)，易證∠AOM=∠BOM，又OA=OB，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，易證OM⊥AB．
（3）利用銳角三角函數(shù)，易求∠OMD=30°，進(jìn)而易求∠ACM=60°．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了垂徑定理，此類在圓中涉及弦長(zhǎng)、半徑、圓心角的計(jì)算的問(wèn)題，常把半弦長(zhǎng)，半圓心角，圓心到弦距離轉(zhuǎn)換到同一直角三角形中，然后通過(guò)直角三角形予以求解，常見輔助線是過(guò)圓心作弦的垂線．