如圖已知P為⊙O外一點,PA為⊙O的切線,B為⊙O上一點,且PA=PB,C為優(yōu)弧上任意一點(不與A、B重合),連接OP、AB,AB與OP相交于點D,連接AC、BC.
(1)求證:PB為⊙O的切線;
(2)若tan∠BCA=,⊙O的半徑為,求弦AB的長.

【答案】分析:(1)連接OA,OB,根據(jù)AP為圓O的切線,利用切線的性質得到∠OAP為直角,由半徑OA=OB,已知AP=BP,以及公共邊OP,利用SSS得出△OAP≌△OBP,利用全等三角形的對應角相等得到∠OBP為直角,即BP垂直于OB,可得出BP為圓O的切線;
(2)延長BO與圓交于點E,連接AE,利用同弧所對的圓周角相等得到∠AEB=∠ACB,可得出tan∠AEB的值,由BE為圓O的直徑,利用直徑所對的圓周角為直角,得到∠BAE為直角,在直角三角形AEB中,設AB=2x,得到AE=3x,再由直徑BE的長,利用勾股定理得到關于x的方程,求出方程的解得到x的值,即可求出弦AB的長.
解答:(1)證明:連接OA,OB,如圖所示:

∵AP為圓O的切線,
∴∠OAP=90°,
在△OAP和△OBP中,

∴△OAP≌△OBP(SSS),
∴∠OAP=∠OBP=90°,
則BP為圓O的切線;
(2)解:延長線段BO,與圓O交于E點,連接AE,
∵BE為圓O的直徑,∴∠BAE=90°,
∵∠AEB和∠ACB都對,
∴∠AEB=∠ACB,
∴tan∠AEB=tan∠ACB=,
設AB=2x,則AE=3x,
在Rt△AEB中,BE=2,
根據(jù)勾股定理得:(2x)2+(3x)2=(22,
解得:x=2或x=-2(舍去),
則AB=2x=4.
點評:此題考查了切線的判定與性質,涉及的知識有:圓周角定理,銳角三角函數(shù)定義,全等三角形的判定與性質,切線的證明方法有兩種:有點連接,證垂直;無點作垂線,證明垂線段等于半徑.
練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)在一次晚會上,大家圍著飛鏢游戲前.只見靶子設計成如圖形式.已知從里到外的三個圓的半徑分別為1,2,3,并且形成A,B,C三個區(qū)域.如果飛鏢沒有停落在最大圓內或只停落在圓周上,那么可以重新投鏢.
(1)分別求出三個區(qū)域的面積;
(2)雨薇與方冉約定:飛鏢停落在A、B區(qū)域雨薇得1分,飛鏢落在C區(qū)域方冉得1分.你認為這個游戲公平嗎?為什么?如果不公平,請你修改得分規(guī)則,使這個游戲公平.

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17、已知⊙O1和⊙O2外切于A(如圖1),BC是它們的一條外公切線,B、C分別為切點,連接AB、AC,
(1)求證:AB⊥AC;
(2)將兩圓外公切線BC變?yōu)椤袿1的切線,且為⊙O2的割線BCD(如圖2),其它條件不變,猜想∠BAC+∠BAD的大小,并加以證明;
(3)將兩圓外切變?yōu)閮蓤A相交于A、D(如圖3),其它條件不變,猜想:∠BAC+∠BDC的大小?并加以證明.

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已知:如圖①,點C為線段AB上一點,△ACM和△CBN都是等邊三角形,AN,BM交于點P,則△BCM≌△NCA,易證結論:①BM=AN.
(1)請寫出除①外的兩個結論:②
∠MBC=∠ANC
∠MBC=∠ANC
;③
∠BMC=∠NAC
∠BMC=∠NAC

(2)將△ACM繞點C順時針方向旋轉180°,使點A落在BC上.請對照原題圖形在圖②畫出符合要求的圖形.(不寫作法,保留作圖痕跡)
(3)在(2)所得到的下圖②中,探究“AN=BM”這一結論是否成立.若成立,請證明:若不成立,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:第9章《概率的簡單應用》?碱}集(02):9.1 抽簽方法合理嗎(解析版) 題型:解答題

在一次晚會上,大家圍著飛鏢游戲前.只見靶子設計成如圖形式.已知從里到外的三個圓的半徑分別為1,2,3,并且形成A,B,C三個區(qū)域.如果飛鏢沒有停落在最大圓內或只停落在圓周上,那么可以重新投鏢.
(1)分別求出三個區(qū)域的面積;
(2)雨薇與方冉約定:飛鏢停落在A、B區(qū)域雨薇得1分,飛鏢落在C區(qū)域方冉得1分.你認為這個游戲公平嗎?為什么?如果不公平,請你修改得分規(guī)則,使這個游戲公平.

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