Question

【題目】已知⊙O及⊙O上一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作⊙O的切線.

小明設(shè)計(jì)了如下尺規(guī)作法：

①連接OP，以點(diǎn)P為圓心，OP長為半徑畫弧交⊙O于點(diǎn)A；

②連接OA，延長OA到B，使AB=OA，作直線PB.則直線即為所求作.

（1）請證明小明作法的正確性；

（2）請你自己再設(shè)計(jì)一種尺規(guī)作圖方法（保留痕跡，不要證明）.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；

【解析】

（1）連接，證出即可；

（2）先作一條射線OP，然后在OP外取一點(diǎn)A, 再以點(diǎn)A為圓心，AP為半徑作圓，與射線OP交于另一點(diǎn)B，連接并延長BA與⊙A交于點(diǎn)C，連接PC即可．

證明：（1）連接，由題意可知：，

∴是等邊三角形，

∴，

∵，

∴，且，

∴

∴，即：,

∴，

即：為⊙O的切線；

（2）解：作法：

①作射線OP；

②在射線OP外任取一點(diǎn)A, 以點(diǎn)A為圓心，AP為半徑作⊙A，與射線OP交于另一點(diǎn)B；

③連接并延長BA與⊙A交于點(diǎn)C；

④作直線PC；

則直線PC即為所求．如下圖所示：

證明：∵BC是⊙A的直徑，

∴∠BPC=90° (圓周角定理 ) ，

即OP⊥PC，

又∵OP是⊙O的半徑，

∴PC是⊙O的切線(切線的判定) ．