Question

在正方形ABCD中，點P是CD邊上一動點，連接PA，分別過點B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分別為E、F，如圖①．
（1）請?zhí)骄緽E、DF、EF這三條線段的長度具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？若點P在DC的延長線上，如圖②，那么這三條線段的長度之間又具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？若點P在CD的延長線上呢，如圖③，請分別直接寫出結(jié)論；
（2）就（1）中的三個結(jié)論選擇一個加以證明．

Answer 1

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)可知：△ABE≌△DAF，利用全等三角形的性質(zhì)，BE=AF，AE=DF，得出BE-DF=EF；
同理可得出圖（2）DF-BE=EF；圖（3）中的DF+BE=EF．

解答：解：（1）在圖①中BE、DF、EF這三條線段長度具有這樣的數(shù)量關(guān)系：BE-DF=EF；
在圖②中BE、DF、EF這三條線段長度具有這樣的數(shù)量關(guān)系：DF-BE=EF；
在圖③中BE、DF、EF這三條線段長度具有這樣的數(shù)量關(guān)系：DF+BE=EF．

（2）對圖①中結(jié)論證明如下：
∵BE⊥PA，DF⊥PA，
∴∠BEA=∠AFD=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=90°，
又∵∠AFD=90°，
∴∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
∵在△BAE和△ADF中，

∠BEA=∠AFD ∠BAE=∠ADF AB=DA

，
∴△BAE≌△ADF（AAS），
∴BE=AF，AE=DF，
∵AF-AE=EF，
∴BE-DF=EF．

點評：主要考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定．充分利用正方形的特殊性質(zhì)來找到全等的條件從而判定全等后利用全等三角形的性質(zhì)解題．