Question

（2013•杭州一模）如圖，已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸相交于點A，與反比例函數(shù)y=

c

x

的圖象相交于B（-1，5），C（

5

2

，d）兩點．
（1）求k，b的值；
（2）設點P（m，n）是一次函數(shù)y=kx+b的圖象上的動點．
①當點P在線段AB（不與A，B重合）上運動時，過點P作x軸的平行線與函數(shù)y=

c

x

的圖象相交于點D，求出△PAD面積的最大值．
②若在兩個實數(shù)m與n之間（不包括m和n）有且只有一個整數(shù)，直接寫出實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先把B點坐標代入y=

c

x

可確定反比例函數(shù)解析式為y=-

5

x

，再把點C（

5

2

，d）代入y=-

5

x

可計算出d，然后利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式，即求出k、b的值；（2）先確定A點坐標為（

3

2

，0），再用n表示P點坐標得到P（

3-n

2

，n），由DP∥x軸得到D點坐標為（-

5

n

，n），根據(jù)三角形面積公式得S_{△PAD的面積}=

1

2

×（

3-n

2

+

5

n

）×n，配成頂點式得y=-

1

4

（n-

3

2

）²+

49

16

，由于點P在線段AB（不與A，B重合）上運動，所以0＜n＜5，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題得到△PAD的面積的最大值為

49

16

；
（3）結(jié)合直線y=-2x+3進行討論：n=-2m+3，當m≤0，n≥3，實數(shù)m與n之間（不包括m和n）有多個整數(shù)；當m＞

3

2

時，n≤0，則實數(shù)m與n之間（不包括m和n）有多個整數(shù)；當m=n即m=1時，實數(shù)m與n之間（不包括m和n）沒有整數(shù)；當1＜m≤

3

2

時，0＜n＜1，m與n之間（不包括m和n）有且只有一個整數(shù)1；當0＜m＜1時，1＜n＜3，m與n之間（不包括m和n）有2個整數(shù)，由于m=

1

2

，n=2，則當0＜m＜

1

2

時，2＜n＜3，m與n之間（不包括m和n）還是有2個整數(shù)，但當

1

2

≤m＜1時，1＜n≤2，m與n之間（不包括m和n）有且只有一個整數(shù)1，綜合得到

1

2

≤m＜1或1＜m≤

3

2

．

解答：解：（1）將點B（-1，5）代入y=

c

x

，得c=-1×5=-5，
∴反比例函數(shù)解析式為y=-

5

x

，
將點C（

5

2

，d）代入y=-

5

x

得d=-

5

- 5 2

=-2，
∴C點坐標為（

5

2

，-2）；
把B（-1，5）、C（

5

2

，-2）代入y=kx+b得

5=-k+b -2= 5 2 k+b

，解得

k=-2 b=3

；
（2）①令y=0，即-2x+3=0，解得x=

3

2

，則A點坐標為（

3

2

，0），
一次函數(shù)的解析式為y=-2x+3，點P（m，n）在直線y=-2x+3上，則m=

3-n

2

，P點坐標表示為（

3-n

2

，n），
∵DP∥x軸，且點D在y=-

5

x

的圖象上，
∴y_D=y_P=n，x_D=-

5

n

，即D點坐標為（-

5

n

，n），
∴S_{△PAD的面積}=

1

2

×（

3-n

2

+

5

n

）×n=-

1

4

（n-

3

2

）²+

49

16

，
∴a=-

1

4

，
∴S有最值，
又∵點P在線段AB（不與A，B重合）上運動，
∴-1＜m＜

3

2

，0＜n＜5，
而拋物線的頂點坐標為（

3

2

，

49

16

），
∴當n=

3

2

時，即P點坐標為（

3

4

，

3

2

）時，△PAD的面積S最大，最大值為

49

16

；
②實數(shù)m的取值范圍為

1

2

≤m＜1或1＜m≤

3

2

．

點評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標同時滿足兩函數(shù)的解析式；常用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；運用二次函數(shù)的性質(zhì)解決代數(shù)式的最值問題．