Question

30、已知方程x²+px+q=0有兩個(gè)不相等的整數(shù)根，p，q是自然數(shù)，且是質(zhì)數(shù)，這個(gè)方程的根是

-1和-2

．

Answer 1

分析：首先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=-p，x₁x₂=q．再利用已知條件p，q是自然數(shù)，且是質(zhì)數(shù)，分q是奇數(shù)與偶數(shù)討論x₁、x₂的取值情況，最終得到方程的根．

解答：解：．設(shè)兩根為x₁，x₂．則
x₁+x₂=-p    ①
x₁x₂=q      ②
由題設(shè)及①，②可知，x₁，x₂均為負(fù)整數(shù)．q為質(zhì)數(shù)，若q為奇數(shù)，則x₁，x₂均為奇數(shù)．從而p為偶數(shù)，而偶質(zhì)數(shù)只有2，兩個(gè)負(fù)整數(shù)之和為-2，且不相等，這是不可能的．
若q為偶數(shù)（只能是2），兩個(gè)負(fù)整數(shù)之積為2，且不相等，只能是-1和-2．
∴方程的根是-1和-2．
故答案為：-1和-2．

點(diǎn)評：本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．解決本題的關(guān)鍵是同學(xué)們在理解質(zhì)數(shù)的基礎(chǔ)上對q的取值分偶數(shù)、奇數(shù)討論．