Question

已知Rt△ABC的兩條直角邊的長a、b均為整數，且a為質數，若斜邊c也是整數，求證：2（a+b+1）是完全平方數．

Answer 1

解：∵a，b是Rt△ABC的兩條直角邊，c是斜邊，
∴a²+b²=c²，
即a²=c²-b²=（c+b）（c-b），
∵a為質數，
∴c+b=a²，c-b=1，
∴a²=2b+1，
∴2（a+b+1）=a²+2a+1=（a+1）²，
∴2（a+b+1）是完全平方數．
分析：由勾股定理易得a²+b²=c²，則a²=c²-b²=（c+b）（c-b），因為a為質數，所以c+b=a²，c-b=1，兩式相減可得a²=2b+1，代入2（a+b+1）即可得證．
點評：此題考查完全平方數，根據勾股定理和a為質數展開答題，是關鍵．