【題目】在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OCNM為矩形,如圖1M點坐標(biāo)為(m0),C點坐標(biāo)為(0n),已知m,n滿足

1)求m,n的值;

2)①如圖1,PQ分別為OM,MN上一點,若∠PCQ45°,求證:PQOP+NQ

②如圖2,S,GR,H分別為OC,OM,MN,NC上一點,SRHG交于點D.若∠SDG135°,,則RS______;

3)如圖3,在矩形OABC中,OA5,OC3,點F在邊BC上且OFOA,連接AF,動點P在線段OF是(動點POF不重合),動點Q在線段OA的延長線上,且AQFP,連接PQAF于點N,作PMAFM.試問:當(dāng)P,Q在移動過程中,線段MN的長度是否發(fā)生變化?若不變求出線段MN的長度;若變化,請說明理由.

【答案】1m5,n=5;(2)①證明見解析;②;(3MN的長度不會發(fā)生變化,它的長度為

【解析】

1)利用非負數(shù)的性質(zhì)即可解決問題.

2作輔助線,構(gòu)建兩個三角形全等,證明△COE≌△CNQ△ECP≌△QCP,由PEPQOE+OP,得出結(jié)論;

作輔助線,構(gòu)建平行四邊形和全等三角形,可得CSRECFGH,則CESR,CFGH,證明△CEN≌△CE′O△E′CF≌△ECF,得EFE′F,設(shè)ENx,在Rt△MEF中,根據(jù)勾股定理列方程求出EN的長,再利用勾股定理求CE,則SRCE相等,所以SR ;

3)在(1)的條件下,當(dāng)PQ在移動過程中線段MN的長度不會發(fā)生變化,求出MN的長即可;如圖4,過PPD∥OQ,證明△PDF是等腰三角形,由三線合一得:DMFD,證明△PND≌△QNA,得DNAD,則MNAF,求出AF的長即可解決問題.

解:(1 ,

≥0|5m|≥0,

∴n50,5m0,

∴m5,n=5

2如圖1中,在PO的延長線上取一點E,使NQOE,

∵CNOMOCMN∠COM90°,

四邊形OMNC是正方形,

∴COCN,

∵∠EOC∠N90°,

∴△COE≌△CNQSAS),

∴CQCE,∠ECO∠QCN,

∵∠PCQ45°,

∴∠QCN+∠OCP90°45°45°,

∴∠ECP∠ECO+∠OCP45°,

∴∠ECP∠PCQ,

∵CPCP,

∴△ECP≌△QCPSAS),

∴EPPQ,

∵EPEO+OPNQ+OP

∴PQOP+NQ

如圖2中,過CCE∥SR,在x軸負半軸上取一點E′,使OE′EN,得CSRE,且△CEN≌△CE′O,則CESR

CCF∥GHOMF,連接FE,得CFGH,則CFGH

∵∠SDG135°,

∴∠SDH180°135°45°

∴∠FCE∠SDH45°,

∴∠NCE+∠OCF45°

∵△CEN≌△CE′O,

∴∠E′CO∠ECNCECE′,

∴∠E′CF∠E′CO+∠OCF45°

∴∠E′CF∠FCE,

∵CFCF,

∴△E′CF≌△ECFSAS),

∴E′FEF

Rt△COF中,OC5,FC,

由勾股定理得:OF

∴FM5,

設(shè)ENx,則EM5xFEE′Fx+,

則(x+2=(2+5x2,

解得:x,

∴EN,

由勾股定理得:CE ,

∴SRCE

故答案為

3)當(dāng)PQ在移動過程中線段MN的長度不會發(fā)生變化.

理由:如圖3中,過PPD∥OQ,交AFD

∵OFOA,

∴∠OFA∠OAF∠PDF,

∴PFPD,

∵PFAQ,

∴PDAQ

∵PM⊥AF,

∴DMFD

∵PD∥OQ,

∴∠DPN∠PQA,

∵∠PND∠QNA,

∴△PND≌△QNAAAS),

∴DNAN

∴DNAD,

∴MNDM+DNDF+ADAF

∵OFOA5,OC3,

∴CF,

∴BFBCCF541,

∴AF,

∴MNAF,

當(dāng)P、Q在移動過程中線段MN的長度不會發(fā)生變化,它的長度為

練習(xí)冊系列答案
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(1)ΔAPC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60度得到連接這樣就把確定PA+PB+PC的最小值的問題轉(zhuǎn)化成確定的最小值的問題了,請你利用如圖證明:

;

問題的解決:

(2)當(dāng)點P到銳角ABC的三項點的距離之和PA+PB+PC的值為最小時,請你用一定的數(shù)量關(guān)系刻畫此時的點P的位置:_____________________________;

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①△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到;&

②點O與O′的距離為4;

③∠AOB=150°;

④四邊形AOBO′的面積為6+3 ;

⑤S△AOC+S△AOB=6+.

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(2)拋物線上有一點M,當(dāng)∠MBE=75°時,求點M的橫坐標(biāo);

(3)點P在拋物線上,在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點Q,使得以點P,Q,B,C為頂點的四邊形是矩形?若存在,請直接寫出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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