【題目】如圖1,點PQ分別是邊長為4cm的等邊ABCAB、BC上的動點,點P從頂點A,點Q從頂點B同時出發(fā),且它們的速度都為1cms。

⑴連接AQCP交于點M,在點PQ運動的過程中,∠CMQ的大小變化嗎?若變化,則說明理由,若不變,請直接寫出它的度數(shù);

⑵點P、Q在運動過程中,設運動時間為t,當t為何值時,PBQ為直角三角形?

⑶如圖2,若點P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線ABBC上運動,直線AQCP交點為M,則∠CMQ的大小變化嗎?則說明理由;若不變,請求出它的度數(shù)。

【答案】見解析

【解析】試題分析:(1)因為點P從頂點A,點Q從頂點B同時出發(fā),且它們的速度都為1cm/s,所以AP=BQAB=AC,∠B=∠CAP=60°,因而運用邊角邊定理可知△ABQ≌△CAP.再用全等三角形的性質(zhì)定理及三角形的角間關系、三角形的外角定理,可求得CQM的度數(shù);

2)設時間為t,則AP=BQ=t,PB=4-t.分別就∠PQB=90°時;∠BPQ=90°時利用直角三角形的性質(zhì)定理求得t的值;

3)首先利用邊角邊定理證得△PBC≌△QCA,再利用全等三角形的性質(zhì)定理得到∠BPC=∠MQC.再運用三角形角間的關系求得∠CMQ的度數(shù).

試題解析:(1∠CMQ不變.

AC="BA," ∠A=∠B, AP="BQ,"

∴△ACP≌△BAQ, ∴∠ACP=∠BAQ,

∴∠CMQ=∠ACP+∠MAC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°

∴∠CMQ恒等于60°,不發(fā)生變化.

2)設運動了t

△PBQRt三角形時 ∠B="60°"

∠BPQ=30°∴PB="AB-BP=4-t=2BQ=2t" 解得t=

∠PQB=30°時 則BQ=t=2PB=2AB-AP=24-t) 解得t=

3∠CMQ不變.

∵AC=CB,∠ACQ=120°=∠CBP, CQ="BP,"

∴△ACQ≌△CBP, ∴∠CAQ=∠BCP,

∴∠CMQ=∠CAQ+∠ACM=∠BCP+∠ACM=∠MCQ+∠ACM=∠ACQ=120°

∴∠CMQ恒等于120°,不會發(fā)生變化.

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