【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,過點(diǎn)A,0)的兩條直線分別交y軸于B、C兩點(diǎn),且B、C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是一元二次方程x22x3=0的兩個(gè)根.

1)求線段BC的長(zhǎng)度;

2)試問:直線AC與直線AB是否垂直?請(qǐng)說明理由;

3)若點(diǎn)D在直線AC上,且DB=DC,求點(diǎn)D的坐標(biāo)。

【答案】(1)線段BC的長(zhǎng)度為4;

(2)AC⊥AB,理由見解析;

(3)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣2,1)

【解析】解(1x2﹣2x﹣3=0,

x=3x=﹣1,

B0,3),C0,﹣1),

BC=4

2A,0),B0,3),C0,﹣1),

OA=,OB=3,OC=1,

OA2=OBOC,

∵∠AOC=BOA=90°,

∴△AOC∽△BOA,

∴∠CAO=ABO,

∴∠CAO+BAO=ABO+BAO=90°

∴∠BAC=90°,

ACAB;

3)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,

A,0)和C0,﹣1)代入y=kx+b,

,

解得:,

∴直線AC的解析式為:y=﹣x﹣1,

DB=DC,

∴點(diǎn)D在線段BC的垂直平分線上,

D的縱坐標(biāo)為1,

∴把y=1代入y=﹣x﹣1,

x=﹣2

∴D的坐標(biāo)為(﹣2,1),

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