【題目】定義:在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線yaxm+k稱為拋物線yaxm2+k的關(guān)聯(lián)直線.

1)求拋物線yx2+6x1的關(guān)聯(lián)直線;

2)已知拋物線yax2+bx+c與它的關(guān)聯(lián)直線y2x+3都經(jīng)過y軸上同一點,求這條拋物線的表達式;

3)如圖,頂點在第一象限的拋物線y=﹣ax12+4a與它的關(guān)聯(lián)直線交于點A,B(點A在點B的左側(cè)),與x軸負半軸交于點C,連結(jié)AC、BC.當(dāng)ABC為直角三角形時,求a的值.

【答案】1yx+310x7;(2y2x2+3y2x+12+1;(3a=1a=.

【解析】

1)先將拋物線的解析式化為頂點式,然后根據(jù)關(guān)聯(lián)直線的定義即可得出答案;

2)由題意可得a=2,c=3,設(shè)拋物線的頂點式為y=2x-m2+k,可得,可求mk的值,即可求這條拋物線的表達式;

3)由題意可得A1,4a),B2,3a),C-1,0),可求AB2=1+a2,BC2=9+9a2,AC2=4+16a2,分BCAC為斜邊兩種情況討論,根據(jù)勾股定理可求a的值.

解:(1)∵yx2+6x1=(x+3210,

∴關(guān)聯(lián)直線為yx+310x7;

2)∵拋物線yax2+bx+c與它的關(guān)聯(lián)直線y2x+3都經(jīng)過y軸上同一點,

a2,c3,

可設(shè)拋物線的頂點式為y2xm2+k,

則其關(guān)聯(lián)直線為y2xm+k2x2m+k,

,

解得,

∴拋物線解析式為y2x2+3y2x+12+1

3)由題意:A1,4aB2,3aC(﹣10),

AB21+a2,BC29+9a2AC24+16a2,

顯然AB2BC2 AB2AC2,故AB不能成為△ABC的斜邊,

當(dāng)AB2+BC2AC2時:1+a2+9+9a24+16a2解得a=±1

當(dāng)AB2+AC2BC2時:1+a2+4+16a29+9a2解得a=,

∵拋物線的頂點在第一象限,

a0,即a=1或a=.

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