Question

如圖，拋物線y=-

1

2

x2+

5

2

x-2與x軸相交于A、B，與y軸相交于點C，過點C作CD∥x軸，交拋物線點D．
（1）求梯形ABCD的面積；
（2）若梯形ACDB的對角線AD、BC交于點E，求點E的坐標，并求經過A、B、E三點的拋物線的解析式；
（3）點P是直線CD上一點，且△PBC與△ABC相似，求符合條件的P點坐標．

Answer 1

分析：（1）把x=0，y=0分別代入解析式，即可求出A、B、C的坐標，由CD∥x軸得到C和D的縱坐標相等（是-2）從而求出D的坐標，利用梯形的面積公式求出即可；
（2）根據(jù)拋物線的對稱性求出E的橫坐標，過E作EN⊥AB，就可得到比例式，進一步求出E的縱坐標，即過、B、E三點的拋物線的頂點坐標，即可求出解析式；
（3）由已知相似可得比例式，能求出CP的值，進而求出P的坐標．

解答：解：（1）y=-

1

2

x2+

5

2

x-2，
當y=0時，-

1

2

x²+

5

2

x-2=0，
解得：x₁=1，x₂=4，
當x=0時，y=-2，
∴A（1，0），B（4，0），C（0，-2），
∵CD∥x軸，
∴D點的縱坐標也是-2，
把y=-2代入y=-

1

2

x2+

5

2

x-2得：
-

1

2

x²+

5

2

x-2=-2，
解得：x₃=0，x₄=5，
D點的坐標是：（5，-2），
S_梯形ACDB=

1

2

×[（4-1）+5]×|-2|，
=8．
所以梯形ABCD的面積是8．

（2）由拋物線的對稱性有xE=

5

2

，
過E作EN⊥AB于N，

EN

OC

=

BE

BC

=

AB

AB+CD

=

3

8

，
EN=

3

4

，
yE=-

3

4

，
∴E(

5

2

，-

3

4

)，
設：經過A、B、E三點的拋物線的解析式為：y=a(x-

5

2

)2-

3

4

，
把A（1，0）代入解得：a=

1

3

，
所以經過A、B、E三點的拋物線的解析式是：y=

1

3

(x-

5

2

)2-

3

4

，
即y═

1

3

x²-

5

3

x+

4

3

．

（3）當點P在C的右側，
當∠CAB=∠CBP時，

AC

PB

=

AB

CB

，

5

PB

=

3

2 5

，
PB=

10

3

，
設P（a，-2），
∵B（4，0），
∴由勾股定理得：2²+（4-a）²=（

10

3

）²，
a=

4

3

（此時∠CAB≠∠CBP舍去），a=

20

3

，
∴P（

20

3

，-2）；
當∠CPB=∠CAB時，
∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠PCB，
∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，∠CBP+∠BCP+∠BPC=180°，
∴∠ACB=∠CBP，
∴AC∥PB，
∴四邊形ACPB是平行四邊形，
∴AB=CP，
∵A（1，0），B（4，0），
∴CP=AB=3，
∵C（0，-2），CP∥AB，
∴P（3，-2），
當點P在C的左側，由題意有鈍角∠BAC≠鈍角∠PCB，此時不存在．
所以符合條件的P點坐標是P（3，-2）和P（

20

3

，-2）．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的性質，三角形相似的性質，梯形的面積公式，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式等知識點，能綜合運用這些知識解題是解決本題的關鍵．難點是（3）小題的求法，巧妙地運用了分類討論思想．