Question

如圖，已知拋物線l₁：y=x²-4的圖象與x軸相交于A、C兩點(diǎn)，B是拋物線l₁上的動(dòng)點(diǎn)（B不與A、C重合），拋物線l₂與l₁關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，以AC為對(duì)角線的平行四邊形ABCD的第四個(gè)頂點(diǎn)為D。
（1）求l₂的解析式；
（2）求證：點(diǎn)D一定在l₂上；
（3）□ABCD能否為矩形？如果能為矩形，求這些矩形公共部分的面積（若只有一個(gè)矩形符合條件，則求此矩形的面積）；如果不能為矩形，請(qǐng)說(shuō)明理由。注：計(jì)算結(jié)果不取近似值。

Answer 1

解：（1）設(shè)l2的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0）， ∵l1與x軸的交點(diǎn)為A（-2，0），C（2，0）， 頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，-4），l2與l1關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)， ∴l(xiāng)2過(guò)A（-2，0），C（2，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，4）， ∴，∴a=-1，b=0，c=4， 即l2的解析式為y=-x2+4； （2）設(shè)點(diǎn)B（m，n）為l1：y=x2-4上任意一點(diǎn)，則n=m2-4（*） ∵四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)A、C關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)， ∴B、D關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)， ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（-m，-n） 由（*）式可知，-n=-（m2-4）=-（-m）2+4， 即點(diǎn)D的坐標(biāo)滿(mǎn)足y=-x2+4， ∴點(diǎn)D在l2上； （3）□ABCD能為矩形； 過(guò)點(diǎn)B作BH⊥x軸于H，由點(diǎn)B在l1：y=x2-4上， 可設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x0，x02-4）， 則OH=|x0|，BH=|x02-4|， 易知，當(dāng)且僅當(dāng)BO=AO=2時(shí)，□ABCD為矩形， 在Rt△OBH中，由勾股定理得，|x0|2+|x02-4|2=22，（x02-4）（x02-3）=0， ∴x0=±2（舍去）、x0=±， 所以，當(dāng)點(diǎn)B坐標(biāo)為B（，-1）或B′（-，-1）時(shí)，□ABCD為矩形， 此時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)分別是D（-，1）、D′（，1）， 因此，符合條件的矩形有且只有2個(gè)，即矩形ABCD和矩形AB′CD′， 設(shè)直線AB與y軸交于E，顯然，△AOE∽△AHB， ∴， ∴， ∴EO=4-2， 由該圖形的對(duì)稱(chēng)性知矩形ABCD與矩形AB′CD′重合部分是菱形， 其面積為S=2SΔACE=。