Question

綜合與實(shí)踐：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x²+2x+3與x軸交于A．B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求直線AC的解析式及B，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作直線AC交拋物線于點(diǎn)Q，試探究：隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A．P、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）請(qǐng)?jiān)谥本�AC上找一點(diǎn)M，使△BDM的周長(zhǎng)最小，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，﹣x²+2x+3=0，
解得x₁=﹣1，x₂=3．∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，
∴A，B的坐標(biāo)分別為（﹣1，0），（3，0）．
當(dāng)x=0時(shí)，y=3．
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）
設(shè)直線AC的解析式為y=k₁x+b₁（k₁≠0），則，
解得，∴直線AC的解析式為y=3x+3．∴y=﹣x²+2x+3=﹣（x﹣1）²+4，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）．
（2）拋物線上有三個(gè)這樣的點(diǎn)Q，
①當(dāng)點(diǎn)Q在Q₁位置時(shí)，Q₁的縱坐標(biāo)為3，
代入拋物線可得點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（2，3）；
②當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)Q₂位置時(shí)，點(diǎn)Q₂的縱坐標(biāo)為-3，代入拋物線可得點(diǎn)Q₂坐標(biāo)為（1+，﹣3）；
③當(dāng)點(diǎn)Q在Q₃位置時(shí)，點(diǎn)Q₃的縱坐標(biāo)為﹣3，
代入拋物線解析式可得，點(diǎn)Q₃的坐標(biāo)為（1﹣，﹣3）；
綜上可得滿足題意的點(diǎn)Q有三個(gè)，
分別為：Q₁（2，3），Q₂（1+，﹣3），Q₃（1﹣，﹣3）．
（3）點(diǎn)B作BB'⊥AC于點(diǎn)F，使B'F=BF，則B'為點(diǎn)B關(guān)于直線AC 的對(duì)稱點(diǎn)．
連接B'D交直線AC與點(diǎn)M，
則點(diǎn)M為所求，過點(diǎn)B'作B'E⊥x軸于點(diǎn)E．
∵∠1和∠2都是∠3的余角，
∴∠1=∠2，
∴Rt△AOC∽R(shí)t△AFB，
∴，由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）
得OA=1，OB=3，OC=3，
∵AC=，AB=4．∴，∴BF=，∴BB'=2BF=，
由∠1=∠2可得Rt△AOC∽R(shí)t△B'EB，
∴，
∴，
即．
∴B'E=，BE=，
∴OE=BE﹣OB=﹣3=．
∴B'點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，）．
設(shè)直線B'D的解析式為y=k₂x+b₂（k₂≠0）．
∴，
解得，
∴直線B'D的解析式為：y=x+，
聯(lián)立B'D與AC的直線解析式可得：，
解得，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）．